Je travaille actuellement avec des chaînes de Markov et j'ai calculé l'estimation du maximum de vraisemblance en utilisant les probabilités de transition suggérées par plusieurs sources (c'est-à-dire le nombre de transitions de a vers b divisé par le nombre de transitions globales de a vers d'autres nœuds).
Je veux maintenant calculer la log-vraisemblance du MLE.
Réponses:
Soit un chemin de la chaîne markovienne et soit la probabilité d'observer le chemin lorsque est la vraie valeur du paramètre (alias la fonction de vraisemblance pour ). En utilisant la définition de la probabilité conditionnelle, nous savons{Xi}Ti=1 Pθ(X1,...,XT) θ θ
Puisqu'il s'agit d'une chaîne de Markov, nous savons que , donc ceci simplifie cela pourPθ(XT|XT−1,...,X1)=Pθ(XT|XT−1)
Maintenant, si vous répétez cette même logique fois, vous obtenezT
où doit être interprété comme l'état initial du processus. Les termes sur le côté droit ne sont que des éléments de la matrice de transition. Étant donné que c'était la probabilité logarithmique que vous avez demandée, la réponse finale est:X0
Il s'agit de la probabilité d'une chaîne de Markov unique - si votre ensemble de données comprend plusieurs chaînes de Markov (indépendantes), la probabilité totale sera une somme de termes de ce formulaire.
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