Trouver la distribution d'une statistique

Étudier pour un test. Impossible de répondre à celui-ci.

Soit soit iid variables aléatoires. Définir $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ $\mathcal{N}(0,1)$

, $W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$

et , $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Quelle est la distribution de , ? $\overline{W}_n$ $S_n^2$

Comment avoir une idée de la meilleure méthode à utiliser lors du démarrage d'un problème comme celui-ci?

normal-distribution data-transformation Taylor
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n

$n$

{\bar{W}}_{n}

$\overline W_n$

S_{n}^{2}

$S_n^2$

n

$n$

Réponses:

C'est un truc.

$X_{3,i} = x$ $W_i$

\frac{X_{1, i} + X_{2, i} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \sim N (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$

x

$x$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

X_{1, i}

$X_{1,i}$

X_{2, i}

$X_{2,i}$

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$

V (W_{i} ∣ X_{3, i} = x) = \frac{V (X_{1, i}) + V (X_{2, i}) x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

$W_i \mid X_{3,i} = x$ $x$ $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Le reste découle des résultats standard sur les moyennes et les résidus pour les variables aléatoires normales indépendantes. Le théorème de Basu n'est nécessaire à rien.

NRH
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très impressionnant!

Cam.Davidson.Pilon

({\bar{W}}_{n}, S_{n}^{2})

$(\overline{W}_n,S_n^2)$