Distribution avec

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Existe-t-il des informations sur la distribution dont le ème cumulant est donné par ? La fonction génératrice de cumulants est de la forme Je l'ai rencontré comme la distribution limitante de certaines variables aléatoires, mais je n'ai pas pu trouver d'informations à ce sujet.n κ(t)= 1 0 e t x -11n

κ(t)=01etx1x dx.
gars
la source
Je ne vois pas que cette fonction vous avez donnée a la propriété revendiquée! Vous devriez réviser votre travail. Approximant l'exponentielle n l'intégrande proche de zéro avec 1 + t x , l'intégrande proche de zéro devient t / x , donc est divergente. Cette intégrale ne peut donc pas représenter une fonction génératrice de cumul. κ(t)1+txt/x
kjetil b halvorsen
@kjetilbhalvorsen pas sûr de suivre. Approximer avec 1 + t x donne t xetx1+txpour l'intégrande. De plus, d'aprèscela,la fonction que j'ai donnée a une intégrale connue en termes d'intégrales hyperboliques cosinus et sinus. Pour montrer queκ(t)a la propriété revendiquée, il suffit de faire une série de Taylor complète autour de0pouretxet de pousser l'intégrale à travers pour additionner pour obtenir la série de Taylor pourκ(t)autour de0. txx=tκ(t)0etxκ(t)0
gars
sympy dit que l'intégrale est divergente (à sa manière excentrique!). Mais sympy doit être faux, je le vois maintenant, expérimenté avec une certaine intégration numérique, et cela fonctionne très bien. Je vais réessayer.
kjetil b halvorsen
En regardant le résultat de Wolphram alphas, il ne peut pas être correct non plus, il a une limite non nulle lorsque t approche de zéro, alors que clairement. κ(0)=0
kjetil b halvorsen
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Je pense que c'est absolument continu sur . Il est réalisé comme une limite de variables aléatoires de Poisson compoud; comme n un Poisson composé de taux 1 1 / n 1(0,)net densité de distribution sautantefn(x)11/n11x dxconverge faiblement vers cette distribution. fn(x)1xI(1/n<x<1)
mec

Réponses:

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La connaissance des valeurs des cumulants nous permet d'avoir une idée de l'aspect du graphique de cette distribution de probabilité. La moyenne et la variance de la distribution est

E[Y]=κ1=1,Var[Y]=κ2=12

tandis que son asymétrie et ses coefficients d'excès de kurtosis sont

γ1=κ3(κ2)3/2=(1/3)(1/2)3/2=223

γ2=κ4(κ2)2=(1/4)(1/2)2=1

Il pourrait donc s'agir d'un graphique familier d'une variable aléatoire positive présentant une asymétrie positive. Quant à trouver la distribution de probabilité, l'approche d'un artisan pourrait être de spécifier une distribution de probabilité discrète générique, valeurs dans , avec des probabilités correspondantes { p 0 , p 1 , . . . , p m }{0,1,...,m}{p0,p1,...,pm},k=0mpk=1

κn=μni=1n1(n1i1)κiμni
μ1=κ1=1μ2=κ2+κ12=3/2μ3=κ3+3κ2κ1+κ13=17/6μ4=κ4+4κ3κ1+3κ22+6κ2κ12+κ14=19/3μ5=κ5+5κ4κ1+10κ3κ2+10κ3κ12+15κ22κ1+10κ2κ13+κ15=243/15
If we (momentarily) set m=5 we have the system of equations

k=05pk=1,k=05pkk=1k=05pkk2=3/2,k=05pkk3=17/6k=05pkk4=19/3,k=05pkk5=243/15s.t.pk0k

Of course we do not want m to be equal to 5. But increasing gradually m (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

Alecos Papadopoulos
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This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range (0,a) and then on (a,) it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).
guy
Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for a?
Alecos Papadopoulos
Dug up my old code and found a1. If Yκ(t) then [YY<1] is approximatey U(0,1) and [Y1Y>1] is approximately gamma distributed with shape 1.4 and mean 0.64.
guy
What do you mean by Yκ(t)?
Alecos Papadopoulos
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So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?
wolfies