Var (X) est connu, comment calculer Var (1 / X)?

C'est impossible.

Considérons une séquence de variables aléatoires, où $X_n$

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0,5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

Alors:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

Mais s'approche de zéro lorsque va à l'infini: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

Cet exemple utilise le fait que est invariant sous les traductions de , mais ne l'est pas. $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Mais même si nous supposons que , nous ne pouvons pas calculer : Soit $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

Alors approche 1 lorsque va à l'infini, mais pour tout . $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

mogron
la source

Vous pouvez utiliser la série de Taylor pour obtenir une approximation des moments d'ordre inférieur d'une variable aléatoire transformée. Si la distribution est assez «serrée» autour de la moyenne (dans un sens particulier), l'approximation peut être assez bonne.

Donc par exemple

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

donc

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

souvent seul le premier terme est pris

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

Dans ce cas (en supposant que je n'ai pas fait d'erreur), avec , . $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipédia: extensions de Taylor pour les moments de fonctions de variables aléatoires

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Quelques exemples pour illustrer cela. Je vais générer deux échantillons (distribués gamma) dans R, un avec une distribution `` pas trop serrée '' sur la moyenne et un un peu plus serré.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

L'approximation suggère que la variance de devrait être proche de $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Le calcul algébrique que la variance réelle de la population est de $1/648 \approx 0.00154$

Maintenant pour le plus serré:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

L'approximation suggère que la variance de devrait être proche de $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Le calcul algébrique montre que la variance de la population de l'inverse est . $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

Glen_b -Reinstate Monica
la source

Notez que dans ce cas, une hypothèse assez faible conduit à la conclusion qu'il n'y aura pas de moyenne (d'où la variance) pour , c'est-à-dire que l'approximation dans la réponse sera plutôt trompeuse. :-) Un exemple d'hypothèse est que a une densité continue dans un intervalle autour de zéro et telle que . Le résultat suit alors parce que la densité sera délimitée de zéro sur un certain intervalle . L'hypothèse qui vient d'être donnée n'est bien sûr pas la plus faible possible.

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

cardinal

La raison pour laquelle l'argument de la série Taylor échoue alors est que cache le terme (erreur) restant, qui dans ce cas est et cela se comporte mal autour de .

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

Cardinal

Il faut en effet faire attention au comportement de la densité proche de 0. A noter que dans les exemples gamma ci-dessus, la distribution de l'inverse est gamma inverse, pour laquelle avoir une moyenne finie nécessite ( étant le paramètre de forme de le gamma que nous inversons). Les deux exemples avaient et . Même ainsi (avec des distributions "agréables" pour inverser) la négligence des termes supérieurs peut introduire un biais notable.

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

Glen_b -Reinstate Monica

cela semble dans la bonne direction, d'une distribution normale décalée réciproque au lieu d'une distribution normale standard réciproque: en.wikipedia.org/wiki/…

Felipe G. Nievinski

Var (X) est connu, comment calculer Var (1 / X)?

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