Densité de Y = log (X) pour X distribué gamma

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Supposons que j'ai une variable aléatoire et que je définisse . Je voudrais trouver la fonction de densité de probabilité de .Y = log ( X ) $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

Je pensais à l'origine que je définirais simplement la fonction de distribution cumulative X, ferais un changement de variable et prendrais "l'intérieur" de l'intégrale comme ma densité, comme ça,

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

Ici, j'utilise et , puis sous dans les définitions de et en termes de .d y = $y = \log x$xdx$dy = \frac{1}{x} dx$$x$$dx$$y$

La sortie, malheureusement, ne s'intègre pas à 1. Je ne sais pas où est mon erreur. Certains pourraient-ils me dire où est mon erreur?

Écrivez les densités avec les indicateurs pour avoir une image claire.

Si , alors f X ( x ) = $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

Si , avec l'inverse , alors et le CDF est obtenu à partir de la définition $Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$P ( Y ≤ y ) = ∫ y - ∞ f Y ( y ) d

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$