Les solutions PCA sont-elles uniques?

Lorsque j'exécute PCA sur un certain ensemble de données, la solution qui m'est donnée est-elle unique?

C'est-à-dire que j'obtiens un ensemble de coordonnées 2d, basé sur des distances entre points. Est-il possible de trouver au moins une autre disposition des points qui répondrait à ces contraintes?

Si la réponse est oui, comment trouver une solution si différente?

Non, la réponse n'est pas unique. Il y a plusieurs façons de le montrer. Une possibilité est de remarquer que la décomposition spectrale d'une matrice carrée par est la solution à la maximisation d'une fonction convexe de . Considérons le premier vecteur / valeur propre:p X $p$$p$$X$$w$

(où est la première valeur propre et le premier vecteur propre).$\lambda_1$$w^*$

La solution à de tels problèmes (par exemple, les valeurs de atteignant ce maximum) ne sont, en général, pas uniques.$w$

Cependant, les algorithmes de calcul de ces solutions sont déterministes, ce qui signifie que, sauf pour les cas de coins numériques, les solutions que vous obtenez doivent être les mêmes.

Exemple de tels cas de coins numériques: cas où plusieurs valeurs propres sont (numériquement) les mêmes, cas où le est déficient en rang ...$X$

Quelque chose qui n'a pas encore été remarqué est que le simple fait d'inverser le signe d'un PC produit une solution différente. Autrement dit, si est le ème composant principal, alors est également une solution au ème composant principal. Cela a déjà causé de la confusion, en particulier lorsque votre ordinateur produit des PC alternatifs. Voir cette question .$\mathbf{w}$$n$$-\mathbf{w}$$n$