Suppose que et sont deux variables aléatoires qui ont des RV binaires comme composants (par conséquent ) et les deux ( et ) sont échangeables, c.-à-d.
et
pour toutes permutations .
Ma question est de savoir si elle est échangeable?
Ou formulé différemment quelles hypothèses sont nécessaires pour être échangeable?
bayesian
exchangeability
Sébastien
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Réponses:
Le produit n'a pas besoin d'être échangeable. Le contre-exemple suivant montre ce qui peut mal tourner et pourquoi.
Nous préciserons les distributions conjointesP1 de (X1,Y1) et P2 de (X2,Y2) et supposons que chacune de ces variables aléatoires bivariées est indépendante. Ainsi, leXi seront échangeables à condition qu'ils soient distribués de manière identique, et de même pour Yi. Toutes les variables seront des variables de Bernoulli: par définition, leurs probabilités seront concentrées sur l'ensemble {0,1}.
LaisserP1(0,0)=P1(1,1)=1/2 et P2(x,y)=1/4 pour x,y∈{0,1}.
Étant donné que toutes les distributions marginales sont Bernoulli(1/2), l'hypothèse d'échangeabilité marginale est vraie. Mais maintenant, calculez celaPr(X1Y1=0)=1/2 et Pr(X2Y2=0)=3/4, montrant que les produits ont des distributions différentes (et ne peuvent donc pas être échangés).
Cela montre que la distribution conjointe est importante.
Cependant, les distributions conjointes pourraient différer, mais les produits pourraient être échangeables, donc l'interchangeabilité des variables aléatoires bivariées(Xi,Yi) , bien qu'il s'agisse d'une condition suffisante pour l'échange des produits XiYi, n'est pas une condition nécessaire.
Un exemple en est donné par les variables ternaires avec des valeurs{−1,0,1}. Par exemple, considérez les probabilités suivantes:
et
Il est simple de vérifier que les distributions marginales desXi attribuer des probabilités égales de 1/2 à ±1, les distributions marginales du Yi avoir des vecteurs de probabilité (5/12,1/6,5/12), et que la distribution des XiYi est le même que celui du Yi. Notez que le (Xi,Yi) ont des distributions différentes, car
Ainsi, leXi sont échangeables, les Ouije sont échangeables, les XjeOuije sont échangeables, mais le (Xje,Ouije) ne sont pas échangeables.
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Non. Supposons que l'espace d'échantillonnage se compose de trois revenus également probables pour lesquelsX prend des valeurs de
( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 )
et pour lequel Oui prend des valeurs de
(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0).
Then X1,X2,X3 are exchangeable and so are Y1,Y2,Y3 . But the corresponding values of Z=(X1Y1,…,X3Y3) are
(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)
so clearly Z1,Z2,Z3 are not exchangeable.
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