Je vois le concept d '«échangeable» utilisé dans différents contextes (par exemple, les modèles bayésiens) mais je n'ai jamais très bien compris le terme.
Que signifie ce concept?
Dans quelles circonstances ce concept est-il invoqué et pourquoi?
L'échange est destiné à capturer la symétrie d'un problème, la symétrie dans un sens qui ne nécessite pas d'indépendance. Formellement, une séquence est échangeable si sa distribution de probabilité conjointe est une fonction symétrique de ses arguments. Intuitivement, cela signifie que nous pouvons échanger ou réorganiser les variables de la séquence sans modifier leur distribution conjointe. Par exemple, chaque séquence IID (indépendante, identiquement distribuée) est échangeable, mais pas l’inverse. Chaque séquence échangeable est cependant identiquement distribuée.
Imaginez une table avec un tas d'urnes sur le dessus, chacune contenant différentes proportions de balles rouges et vertes. Nous choisissons une urne au hasard (selon une distribution antérieure), puis prenons un échantillon (sans remplacement) de l'urne sélectionnée.
Notez que les rouges et les verts que nous observons ne sont PAS indépendants. Et il n’est peut-être pas surprenant d’apprendre que la séquence de rouges et de verts que nous observons est une séquence échangeable. Ce qui est peut - être surprenant, c’est que CHAQUE séquence échangeable peut être imaginée de cette façon, pour un choix approprié des urnes et une distribution préalable. (voir Diaconis / Freedman (1980) "Séquences Finies Échangeables", Ann. Prob.).
Le concept est invoqué dans toutes sortes de lieux, et il est particulièrement utile dans les contextes bayésiens, car dans ces contextes, nous avons une distribution préalable (notre connaissance de la distribution des urnes sur la table) et une probabilité qui circule (un modèle représente vaguement la procédure d’échantillonnage d’une urne donnée, fixe). Nous observons la séquence des rouges et des verts (les données) et utilisons ces informations pour mettre à jour nos croyances sur l'urne particulière dans notre main (notre postérieure) ou, plus généralement, sur les urnes sur la table.
Les variables aléatoires échangeables sont particulièrement merveilleuses car si nous en avons une infinité, nous avons à portée de main des tomes de machinerie mathématique, dont le moindre n'est pas le théorème de De Finetti; voir Wikipedia pour une introduction.