Quelles distributions sur [0,1] autres que la distribution bêta forment de beaux composés avec la distribution binomiale?

Pour quelles distributions x, autre que bêta, la distribution x-binomiale est-elle agréable? Les distributions bêta et binomiale sont réputées conjuguées mais je suis curieux de savoir si d'autres distributions non conjuguées donneront des pmfs composés relativement simples. Par gentil, je veux dire que le pmf est agréable à calculer sans recourir à l'intégration numérique; Je ne parle pas de la facilité d'échantillonnage à partir de la distribution composée.

beta-binomial gam
la source

Bonne question. J'allais suggérer un Jeffreys avant, mais il s'avère que ce n'est qu'un cas particulier de la distribution bêta pour les modèles binomiaux . Je continuerai à penser et à voir si je peux en trouver d'autres. J'ai un vague sentiment qu'il y a des transformations de gaussiens qui fonctionnent, mais Google ne m'aide pas à le préciser.

David J. Harris

Réponses:

Si vous voulez simplement pouvoir noter la fonction de masse de probabilité, vous avez beaucoup de flexibilité, essentiellement parce que vous pouvez utiliser à plusieurs reprises l'intégration par parties. Tant que vous pouvez intégrer la distribution de $X$ à plusieurs reprises pour obtenir des expressions sous forme fermée, vous obtenez au pire une double somme d'expressions sous forme fermée pour le pmf de la distribution composée. Je pense que vous obtenez souvent des sommes uniques, alors peut-être existe-t-il une façon encore plus simple de les exprimer.

Par exemple, laissez $\text{pdf}_X(x) = -\log x$ sur $[0,1]$ .

\int_{0}^{1} (\binom{N}{k}) x^{k} (1 - x)^{N - k} (- \log x) d x = \frac{1}{N + 1} \sum_{i = k}^{N} \frac{1}{i + 1} .

$\int_0^1 {N\choose k}x^k (1-x)^{N-k} (-\log x) ~dx \\\ = \frac{1}{N+1}\sum_{i=k}^{N} \frac1{i+1}.$

Douglas Zare
la source