La stationnarité est-elle préservée sous une combinaison linéaire?

Imaginez que nous ayons deux processus de séries temporelles, qui sont stationnaires, produisant: .$x_t,y_t$

Est , également stationnaire? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Toute aide serait appréciée.

Je dirais que oui, car il a une représentation MA.

Peut-être étonnamment, ce n'est pas vrai. (L'indépendance des deux séries chronologiques le rendra cependant vrai.)

Je comprends que «stable» signifie stationnaire, car ces mots semblent être utilisés de manière interchangeable dans des millions de résultats de recherche, dont au moins un sur notre site .

Pour un contre-exemple, soit une série chronologique stationnaire non constante pour laquelle chaque est indépendant de , et dont les distributions marginales sont symétriques autour de . DéfinirX t X s s ≠ t , $X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Ces graphiques montrent des parties des trois séries chronologiques discutées dans ce post. été simulé comme une série de tirages indépendants d'une distribution normale standard.$X$

Pour montrer que est stationnaire, nous devons démontrer que la distribution conjointe de pour tout ne dépend pas de . Mais cela découle directement de la symétrie et de l'indépendance du . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , … , Y s + t n ) t 1 < t 2 < ⋯ < t n s X $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Ces diagrammes de dispersion décalés (pour une séquence de 512 valeurs de ) illustrent l'affirmation selon laquelle les distributions conjointes bivariées de sont comme prévu: indépendantes et symétriques. (Un "nuage de points décalé" affiche les valeurs de contre ; les valeurs de sont affichées.)Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , $Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Néanmoins, en choisissant , nous avons$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

pour même et autrement$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Puisque est non constant, ces deux expressions ont évidemment des distributions différentes pour tout et , d'où la série n'est pas stationnaire. Les couleurs de la première figure mettent en évidence cette non-stationnarité dans en distinguant les valeurs nulles des autres.t t + 1 ( X + Y ) / 2 ( X + Y ) /$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Considérez le processus bidimensionnel

$$w_t = (x_t, y_t)$$

S'il est strictement stationnaire, ou alternativement, si les processus et sont conjointement strictement stationnaires , alors un processus formé par toute fonction mesurable sera également strictement stationnaire.( y t ) f : = f ( x t , y t ) , f : R 2 → $(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

Dans l'exemple de @ whuber, nous avons

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Pour examiner si ce est strictement stationnaire, nous devons d'abord obtenir sa distribution de probabilité. Supposons que les variables sont absolument continues. Pour certains , nous avons$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

S'en tenir à l'exemple de whuber, les deux branches sont des distributions de probabilité différentes car a une distribution symétrique autour de zéro. $x_t$

Maintenant, pour examiner la stationnarité stricte, décaler l'indice d'un nombre entier . Nous avons$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Pour une stationnarité stricte, nous devons avoir

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

Et nous n'avons pas cette égalité , parce que, disons, si est pair et est impair, alors est impair, auquel cas$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

tandis que

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Nous n'avons donc pas de stationnarité stricte commune , et alors nous n'avons aucune garantie sur ce qui arrivera à une fonction de . $f(x_t,y_t)$

Je dois souligner que la dépendance entre et , est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la perte de stationnarité stricte conjointe. C'est l'hypothèse supplémentaire de dépendance de sur l'indice qui fait le travail.$x_t$$y_t$$y_t$

Considérer

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Si l'on fait le travail précédent pour on trouvera que la stationnarité stricte conjointe est valable ici.$(q_t)$

C'est une bonne nouvelle car un processus dépendant de l'indice et strictement stationnaire ne fait pas partie des hypothèses de modélisation que nous devons faire très souvent. Dans la pratique donc, si nous avons une stationnarité stricte marginale, nous nous attendons également à une stationnarité stricte conjointe même en présence de dépendance (bien que nous devions bien sûr vérifier).

Je dirais que oui, car il a une représentation MA.

Une observation. Je pense qu'avoir une représentation MA implique une stationnarité faible, je ne sais pas si cela implique une stationnarité forte.