Paramètre de dispersion dans la sortie GLM

J'ai exécuté un glm dans R, et près du bas de la summary()sortie, il indique

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 28.35031)

J'ai fait quelques recherches sur Google et j'ai appris que le paramètre de dispersion est utilisé pour ajuster les erreurs standard. J'espère que quelqu'un pourrait fournir plus de détails sur ce qu'est le paramètre de dispersion et comment il devrait être interprété?

Une façon d'explorer cela est d'essayer d'adapter le même modèle à l'aide d'outils différents, en voici un exemple:

> fit1 <- lm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> fit2 <- glm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> summary(fit1)

Call:
lm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.79424 -0.21874  0.00899  0.20255  0.73103 

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3068 on 144 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8673,     Adjusted R-squared: 0.8627 
F-statistic: 188.3 on 5 and 144 DF,  p-value: < 2.2e-16 

> summary(fit2)

Call:
glm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Deviance Residuals: 
     Min        1Q    Median        3Q       Max  
-0.79424  -0.21874   0.00899   0.20255   0.73103  

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 0.09414226)

    Null deviance: 102.168  on 149  degrees of freedom
Residual deviance:  13.556  on 144  degrees of freedom
AIC: 79.116

Number of Fisher Scoring iterations: 2

> sqrt( 0.09414226 )
[1] 0.3068261

Vous pouvez donc voir que l'erreur standard résiduelle du modèle linéaire n'est que la racine carrée de la dispersion du glm, en d'autres termes, la dispersion (pour les modèles gaussiens) est la même que l'erreur quadratique moyenne.

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \in \mathbb{R}$

Si vous utilisez une distribution normale pour modéliser vos données, vous écririez probablement cela

$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

$\mu$$\sigma$

Mais disons que vos données sont des données de comptage et ne sont donc pas normalement distribuées. Ce n'est même pas continu dans ce cas, vous pouvez donc utiliser la distribution de Poisson à la place:

$Y_i \sim Poisson(\lambda)$

$\lambda$$\mathbb{E}[Y_i] = \lambda$$Var[Y_i] = \lambda$

Les gens ajoutent donc un paramètre de dispersion pour obtenir un degré de liberté supplémentaire dans la modélisation de la moyenne et de la variance simultanément. Je suppose que tout manuel sur GLM vous donnera une explication plus détaillée et mathématique de ce que c'est, mais la motivation, je crois, est assez simple comme ça.