La différence entre deux VR symétriques a-t-elle également une distribution symétrique?

Si j'ai deux distributions symétriques différentes (par rapport à la médiane) et , la différence également une distribution symétrique (par rapport à la médiane)? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median Alessio93
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La distribution de n'est pas une "différence entre deux distributions", c'est la distribution de la différence entre des variables aléatoires symétriquement distribuées; La différence dans les distributions serait ; qui n'est pas une distribution; de même une différence de pdfs ne serait pas un pdf ... veuillez modifier la description de votre titre

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: J'ai modifié le titre de l'OP pour le dire, mais à l'avenir, allez-y et modifiez-le vous-même. Familièrement, je pense que tout le monde a compris ce que signifiait le PO.

smci

@smci En fait, j'ai choisi de demander au PO de le faire plutôt que de le faire moi-même pour une raison (si vous vérifiez mon profil, vous verrez que j'ai plus de 3100 messages modifiés - je comprends les règles générales sur l'édition). Merci d'avoir aidé, cependant. Je pense également qu'un peu plus de soin à exprimer ce que cela signifie résoudrait une fraction substantielle des questions des novices sur place; et je pense que la clarté est particulièrement importante dans un titre.

Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:

Soit et PDF symétriques par rapport aux médianes et respectivement. Tant que et sont indépendants, la distribution de probabilité de la différence est la convolution de et , c'est-à-dire $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

où est simplement le PDF sur avec la médiane $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Intuitivement, nous nous attendrions à ce que le résultat soit symétrique par rapport à alors essayons cela. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

Dans la deuxième ligne, j'ai utilisé la substitution dans l'intégrale. Dans la troisième ligne, j'ai utilisé à la fois la symétrie de sur et de surCela prouve que est symétrique par rapport à si est symétrique par rapport à et est symétrique par rapport à $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Si et n'étaient pas indépendants, et et étaient simplement des distributions marginales, alors nous aurions besoin de connaître la distribution conjointe,Ensuite, dans l'intégrale, il faudrait remplacer parCependant, ce n'est pas parce que les distributions marginales sont symétriques que la distribution conjointe est symétrique par rapport à chacun de ses arguments. Vous ne pouvez donc pas appliquer un raisonnement similaire. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

Brûleurs
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Cela va dépendre de la relation entre et , voici un contre exemple où et sont symétriques, mais ne l'est pas: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Donc ici la médiane de n'est pas la même que la différence des médianes et n'est pas symétrique. $x-y$ $x-y$

Éditer

Cela peut être plus clair dans la notation de @ whuber:

Considérez la distribution uniforme discrète où et sont liés de telle sorte que vous ne pouvez sélectionner qu'une des paires suivantes: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Si vous insistez pour penser dans une distribution conjointe complète, considérez le cas où peut prendre n'importe laquelle des valeurs et peut prendre les valeurs et la combinaison peut prendre n'importe laquelle des 25 paires. Mais la probabilité des paires données ci-dessus est de 16% chacune et toutes les autres paires possibles ont une probabilité de 1% chacune. La distribution marginale de sera uniforme et discrète, chaque valeur ayant une probabilité de 20% et donc symétrique par rapport à la médiane de 0, il en va de même pour . Prélevez un grand échantillon de la distribution conjointe et regardez seulement ou juste $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ et vous verrez une distribution marginale uniforme (symétrique), mais prenez la différence et le résultat ne sera pas symétrique. $x-y$

Greg Snow
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Je ne comprends pas du tout cet exemple. Si peut être égal à 4 et peut être égal par exemple à 1, alors devrait pouvoir être égal à 3, mais vous n'énumérez pas cette possibilité. Peut-être que je comprends mal votre exemple; quels sont ces trois vecteurs?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

amoeba

x

$x$ et ne sont pas indépendants dans son exemple. Considérez , et comme des fonctions d'une variable aléatoire qui indexe dans chaque vecteur. Ensuite, si , , et

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

Moennanly

Si vous considérez que et ne sont pas indépendants, vous voyez vraiment comme une variable aléatoire bivariée . En tant que tel, vous démontrez que les marginaux symétriques n'impliquent pas que la distribution conjointe est symétrique. C'est une belle observation, mais la notation dans cette réponse prête à confusion. Il pourrait être plus clair de décrire les données en notation bivariée comme .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

whuber

@amoeba, Cela dépend de la relation entre et , s'ils sont indépendants ou faiblement dépendants, alors oui, il pourrait y avoir un cas comme vous le dites, mais mon exemple est une forte dépendance entre les 2 variables. Si X était une hauteur en pouces et y une hauteur en centimètres, alors est une valeur possible et est une valeur possible, mais pas en même temps pour le même objet.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

Greg Snow

Les commentaires et l'édition ont clarifié ce que vous vouliez dire. Merci.

amoeba

Vous devrez assumer l'indépendance entre X et Y pour que cela se maintienne en général. Le résultat suit directement puisque la distribution de est une convolution de fonctions symétriques, qui est également symétrique. $X-Y$

Moormanly
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