La variance d'une somme est-elle égale à la somme des variances?

Est-il vrai (toujours) que

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

La réponse à votre question est "Parfois, mais pas en général".

Pour voir ceci, prenons des variables aléatoires (avec variances finies). Ensuite,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Notez maintenant que , ce qui est clair si vous Pensez à ce que vous faites lorsque vous calculez à la main. Donc,$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

De même,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

alors

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

par la définition de covariance.

Maintenant en ce qui concerne la variance d'une somme égale à la somme des variances? :

• Si les variables ne sont pas corrélées, oui : c’est-à-dire pour , puis${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• Si les variables sont corrélées, non, pas de manière générale : supposons par exemple sont deux variables aléatoires, chacune avec la variance et où . Alors , l'identité échoue donc.$X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• mais il est possible pour certains exemples : Supposons que aient une matrice de covariance puis( 1 0,4 - 0,6 0,4 1 0,2 - 0,6 0,2 1 ) v a r ( X 1 + X 2 + X 3 ) = 3 = v a r ( X 1 ) + v a r ( X 2 ) + v a r ( X 3$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Par conséquent, si les variables ne sont pas corrélées, la variance de la somme est la somme des variances, mais l'inverse n'est pas vrai en général.

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Donc, si les covariances sont moyennes à , ce qui serait une conséquence si les variables ne sont pas corrélées par paires ou si elles sont indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances.$0$

Un exemple où ce n'est pas vrai: Soit . Soit . Ensuite, .$\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Je voulais juste ajouter une version plus succincte de la preuve donnée par Macro, pour que ce soit plus facile de voir ce qui se passe. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Notez que depuis$\Var(X) = \Cov(X,X)$

Pour deux variables aléatoires on a:$X,Y$

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ Donc, en général, la variance de la somme de deux variables aléatoires n'est pas la somme des variances. Cependant, si sont indépendants, alors , et nous avons .$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

Notez que nous pouvons produire le résultat pour la somme de variables aléatoires par une simple induction.$n$

Oui, si chaque paire de n'est pas corrélée, c'est vrai.$X_i$

Voir l' explication sur Wikipedia