Pourquoi les autocovariances pourraient-elles caractériser pleinement une série chronologique?

8

J'ai lu dans la série chronologique de John Cochrane sur la macroéconomie et les finances que:

L'autocovariance peut pleinement caractériser les séries chronologiques [distribution conjointe].

Je ne comprends pas pleinement le lien entre la covariance et la distribution conjointe ici. Quelqu'un peut-il expliquer cela?

time-series autocorrelation joint-distribution Cochon volant
la source
4
Je parierais qu'il suppose que le processus est gaussien, non?
whuber
@whuber, oui, il utilise le modèle ARMA pour illustrer et suppose le terme d'erreur toujours comme un bruit blanc.
Flying pig
1
Le bruit blanc ne garantit pas à lui seul le résultat dont vous avez besoin; vous avez besoin d' un bruit blanc gaussien .
Dilip Sarwate

Réponses:

12

Un processus gaussien stationnaire est complètement caractérisé par la combinaison de sa moyenne, de sa variance et de sa fonction d'autocorrélation. La déclaration telle que vous la lisez n'est pas vraie. Vous avez besoin des conditions supplémentaires suivantes:

  1. Le processus est stationnaire
  2. le processus est gaussien
  3. la moyenne est spécifiéeμ

Ensuite, l'ensemble du processus stochastique est complètement caractérisé par sa fonction d'autocovariance (ou de manière équivalente sa variance + fonction d'autocorrélation).σ2

Cela repose simplement sur le fait que toute distribution gaussienne multivariée est uniquement déterminée par son vecteur moyen et sa fonction de covariance. Donc, étant donné toutes les conditions que j'ai énoncées ci-dessus, la distribution conjointe de toute observation dans la série chronologique a une distribution normale multivariée avec un vecteur moyen ayant chaque composante égale à (par stationnarité) chaque composante a la variance (encore une fois par stationnarité) et les composantes de covariance sont données par les covariances décalées correspondantes dans la fonction d'autocovariance (là encore, la stationnarité intervient parce que l'autocovariance ne dépend que de la différence de temps (ou décalage) entre les deux observations dont la covariance est prise.kμσ2

Michael R. Chernick
la source
(+1) Je pense que cela est dit implicitement dans la condition (1) mais vous exigez également que soit constant, non? μ
Macro
@Macro Oui stationnarité, même la stationnarité à sens faible (covariance) nécessite une moyenne constante et une variance constante.
Michael R. Chernick
@MichaelChernick, alors nous pourrions reproduire la distribution conjointe du processus stochastique (ou simuler le processus stochastique lui-même) en ayant sa moyenne et son autocovariance?
Flying pig
@Flyingpig Oui pour tout sous-ensemble de variables tant qu'il s'agit d'un processus gaussien stationnaire. il ne doit pas nécessairement s'agir d'un processus AR, MA ou ARMA. Il suffit que ce soit un processus gaussien stationnaire. Ce ne devrait pas être une surprise. Il s'agit d'une propriété bien connue pour les distributions normales multivariées.
Michael R. Chernick
@Macro Je suppose que la moyenne constante de condition est redondante dans les conditions requises que j'ai données. Je viens de le mentionner parce que pour caractériser complètement le processus stochastique, vous devez savoir quelle est la valeur de la moyenne et de la variance et pas seulement qu'ils sont tous les deux constants.
Michael R. Chernick