Pourquoi ln [E (x)]> E [ln (x)]?

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Nous avons affaire à la distribution lognormale dans un cours de finance et mon manuel indique simplement que c'est vrai, ce que je trouve un peu frustrant car mes antécédents en mathématiques ne sont pas très solides mais je veux l'intuition. Quelqu'un peut-il me montrer pourquoi c'est le cas?

Chisq
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Déjà répondu ici: math.stackexchange.com/questions/21063/...
Laksan Nathan
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est une fonction concave. Rechercher l'inégalité Jensen: en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequalityln
kjetil b halvorsen
Inathan: Oh désolé, je n'ai pas trouvé ça quand je regardais.
Chisq

Réponses:

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Rappelons que eX1+X

E[eOui]=eE(Oui)E[eOui-E(Oui)]eE(Oui)E[1+Oui-E(Oui)]=eE(Oui)

eE(Oui)E[eOui]

Oui=lnX

eE(lnX)E[elnX]=E(X)

prenez maintenant les journaux des deux côtés

E[ln(X)]ln[E(X)]


Alternativement:

lnX=lnXlnμ+lnμμ=E(X)

=ln(X/μ)+lnμ

=ln[Xμμ+1]+lnμ

Xμμ+lnμln(t+1)t

Prenez maintenant les attentes des deux côtés:

E[ln(X)]lnμ


Une illustration (montrant le lien avec l'inégalité de Jensen):

( Ici, les rôles de X et Y sont échangés de sorte qu'ils correspondent aux axes de l'intrigue; une meilleure planification aurait inversé leurs rôles ci-dessus afin que l'intrigue corresponde plus directement à l'algèbre. )

nuage de points de y = exp (x) vs x pour un échantillon, montrant l'inégalité résultant de la courbure dans cette relation

Les lignes de couleur unie représentent les moyennes sur chaque axe.

XYY

Glen_b -Reinstate Monica
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