Comment expliqueriez-vous intuitivement ce qu'est une racine unitaire dans le contexte du test de la racine unitaire?
Je pense à des façons d’expliquer un peu ce que j’ai fondé dans cette question .
Le cas de racine unitaire est que je sais (peu en passant) que le test de racine unitaire est utilisé pour tester la stationnarité dans une série chronologique, mais c'est tout.
Comment iriez-vous expliquer cela au profane ou à une personne qui a étudié un cours de base sur les probabilités et les statistiques?
MISE À JOUR
J'ai accepté la réponse de whuber car c'est ce qui reflète le plus ce que j'ai demandé ici. Mais j'exhorte tous ceux qui sont venus ici à lire les réponses de Patrick et Michael également, car elles constituent naturellement la "prochaine étape" dans la compréhension de la racine unitaire. Ils utilisent les mathématiques, mais de manière très intuitive.
Réponses:
AA Milne, La Maison de Pooh Corner (Chapitre VI. Dans lequel Winnie Winnie invente un nouveau jeu et auquel se joint Scott.)
Voici une image de l'écoulement le long de la surface de l'eau:
Les flèches indiquent la direction du flux et sont reliées par des lignes de courant. Un cône de sapin aura tendance à suivre la ligne de courant dans laquelle il tombe. Mais il ne le fait pas toujours de la même manière à chaque fois, même lorsqu'il est déposé au même endroit dans le cours d'eau: des variations aléatoires le long de son trajet, provoquées par des turbulences dans l'eau, le vent et d'autres caprices de la nature, lignes de flux.
Ici, le cône de sapin a été déposé près du coin supérieur droit. Il a plus ou moins suivi les lignes de cours d'eau - qui convergent et s'écoulent vers le bas et vers la gauche - mais il a fallu peu de détours en cours de route.
Un "processus autorégressif" (processus AR) est une séquence de nombres supposée se comporter comme certains flux. L'illustration en deux dimensions correspond à un processus dans lequel chaque nombre est déterminé par ses deux valeurs précédentes, plus un "détour" aléatoire. L'analogie est faite en interprétant chaque paire successive de la séquence en tant que coordonnées d'un point du flux. Instantanément, le débit du cours d'eau change les coordonnées du cône de sapin de la même manière mathématique donnée par le processus de RA.
Nous pouvons récupérer le processus original à partir de l'image basée sur le flux en écrivant les coordonnées de chaque point occupé par le cône de sapin, puis en effaçant tout sauf le dernier numéro de chaque ensemble de coordonnées.
La nature - et les cours d'eau en particulier - est plus riche et plus variée que les flux correspondant aux processus de RA. Étant donné que chaque nombre de la séquence est supposé dépendre de la même manière fixe de ses prédécesseurs - mis à part la partie détour aléatoire - les flux illustrant les processus de RA présentent des modèles limités. Ils peuvent en effet sembler couler comme un ruisseau, comme on le voit ici. Ils peuvent aussi ressembler au tourbillon autour d'un drain. Les flux peuvent se produire en sens inverse, semblant jaillir d'un drain. Et ils peuvent ressembler à des bouches de deux ruisseaux qui s’écroulent ensemble: deux sources d’eau s’écoulent directement, puis se séparent. Mais c'est à peu près tout. Vous ne pouvez pas avoir, par exemple, un flux qui coule avec des remous sur les côtés. Les processus de RA sont trop simples pour cela.
Dans cet écoulement, le cône de sapin a été déposé dans le coin inférieur droit et rapidement emporté dans le tourbillon situé dans le coin supérieur droit, malgré les légers changements aléatoires de position subis. Mais il ne cessera jamais de bouger, à cause de ces mêmes mouvements aléatoires qui le sauvent de l'oubli. Les coordonnées de la pomme de pin se déplacent un peu - en effet, on les voit osciller, dans l'ensemble, autour des coordonnées du centre du tourbillon. Dans le premier flux, les coordonnées ont inévitablement progressé le long du centre du cours d'eau, ce qui a rapidement capturé le cône et l'a emporté plus rapidement que ses détours aléatoires ne le ralentissaient: elles ont tendance à s'orienter dans le temps. En revanche, le fait de tourner autour d’un tourbillon illustre une stationnaireprocessus dans lequel le cône de sapin est capturé; s’écoulant le long du ruisseau, dans lequel le cône s’écoule à l’abri de la vue - tendance
Incidemment, lorsque le flux pour un processus AR s'éloigne en aval, il accélère également . Cela devient de plus en plus rapide à mesure que le cône avance.
La nature d'un flux de RA est déterminée par quelques directions spéciales, "caractéristiques", qui sont habituellement évidentes dans le diagramme de flux: les lignes de courant semblent converger vers ou proviennent de ces directions. On peut toujours trouver autant de directions caractéristiques qu'il y a de coefficients dans le processus de RA: deux dans ces illustrations. Un numéro est associé à chaque direction caractéristique, sa "racine" ou "valeur propre". Lorsque la taille du nombre est inférieure à l'unité, le flux dans cette direction caractéristique est dirigé vers un emplacement central. Lorsque la taille de la racine est supérieure à l'unité, le flux s'accélère à partir d'un emplacement central.1 - est dominé par les forces aléatoires affectant le cône. C'est une "marche aléatoire". Le cône peut s'éloigner lentement mais sans accélérer.
(Certaines figures affichent les valeurs des deux racines dans leurs titres.)
Winnie l'Ourson et ses amis ont trouvé un test empirique de la stationnarité:
Ce passage de 1928 pourrait être interprété comme le tout premier "test de l'unité".
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Le processus 1 n'a pas de racine unitaire. Le processus 2 a une racine unitaire. Vous pouvez le confirmer en calculant les polynômes caractéristiques par réponse de Michael.
Qu'est-ce qui se passe ensuite? Où attendons-nous la séquence?
Donc, une intuition est, quand une "série de bonne / mauvaise chance" pousse un processus avec une racine unitaire autour, la séquence "reste bloquée" par la bonne ou la mauvaise chance historique. Il va toujours se déplacer au hasard, mais rien ne "le force à revenir". D'un autre côté, quand il n'y a pas de racine unitaire et que le processus ne explose pas, il y a une "force" sur le processus qui le ramènera à l'ancienne position, même si le bruit aléatoire le renversera encore un peu .
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