La PCA est considérée comme une procédure linéaire, toutefois:
où . Cela revient à dire que les vecteurs propres obtenus par les PCA sur les matrices de données X i ne totalisent pas pour égaler les vecteurs propres obtenus par PCA sur la somme des matrices de données X i . Mais n'est-ce pas la définition d'une fonction linéaire f qui:
Alors, pourquoi PCA est-il considéré comme "linéaire" s'il ne satisfait pas à cette condition de base de la linéarité?
Réponses:
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"Linéaire" peut signifier beaucoup de choses et n'est pas exclusivement employé de manière formelle.
La PCA n’est pas souvent définie comme une fonction au sens formel et elle n’est donc pas censée satisfaire aux exigences d’une fonction linéaire lorsqu'elle est décrite comme telle. Comme vous l'avez dit, il est plus souvent décrit comme une procédure et parfois un algorithme (bien que je n'aime pas cette dernière option). On dit souvent qu’il est linéaire de manière informelle et mal définie.
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PCA fournit / est une transformation linéaire.
A titre de comparaison, un exemple très simple d'un processus qui utilise une transformation linéaire mais n'est pas une transformation linéaire elle-même:
et
mais
ce doublement de l'angle, qui implique le calcul des angles, n'est pas linéaire, et est analogue à l'affirmation de Amoeba, que le calcul du vecteur propre n'est pas linéaire
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