Pourquoi une distribution T est-elle utilisée pour tester l'hypothèse d'un coefficient de régression linéaire?

En pratique, l'utilisation d'un test T standard pour vérifier la signification d'un coefficient de régression linéaire est une pratique courante. La mécanique du calcul a du sens pour moi.

Pourquoi la distribution T peut-elle être utilisée pour modéliser la statistique de test standard utilisée dans les tests d'hypothèse de régression linéaire? Statistique de test standard dont je parle ici:

Pour comprendre pourquoi nous utilisons le t-distribution, vous devez savoir quelle est la répartition sous - jacente de β et de la somme des carrés résiduelle ( R S S ) que ces deux ensemble de vente vous donnera la distribution t.$\widehat{\beta}$$RSS$

La partie plus facile est la distribution de β qui est une distribution normale - voir cette note que β = ( X T X ) - 1 X T Y de sorte qu'il est une fonction linéaire de Y où Y ~ N ( X β , σ 2 I n ) . En conséquence , il est également normalement distribué, β ~ N ( β , σ 2 ( X T X ) -$\widehat{\beta}$$\widehat{\beta}$$(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y$$Y$$Y\sim N(X\beta, \sigma^{2}I_{n})$- laissezmoi savoir si vousbesoinaide dériver la distribution de β .$\widehat{\beta} \sim N(\beta, \sigma^{2}(X^{T}X)^{-1})$$\widehat{\beta}$

De plus, , où n est le nombre d'observations et p est le nombre de paramètres utilisés dans votre régression. La preuve de cela est un peu plus compliquée, mais aussi simple à dériver (voir la preuve ici Pourquoi RSS est-il distribué chi carré np? ).$RSS \sim \sigma^{2}\chi^{2}_{n-p}$$n$$p$

Jusqu'à ce point , je l' ai considéré comme tout dans la matrice / vecteur notation, mais nous allons utiliser pour la simplicité β i et utiliser sa distribution normale , ce qui nous donnera: β i - β i$\widehat{\beta}_{i}$

De plus, à partir de la distribution chi carré de nous avons que: ( n - p ) s $RSS$

Il s'agissait simplement d'un réarrangement de la première expression chi carré et est indépendant du . De plus, nous définissons s 2 = R S $N(0,1)$ , qui est un estimateur sans biais pourσ2. Par la définition de la définitiontn-pque la division d'une distribution normale par un chi carré indépendant (sur ses degrés de liberté) vous donne une distribution t (pour la preuve, voir:Une normale divisée par le√$s^{2}=\frac{RSS}{n-p}$$\sigma^{2}$$t_{n-p}$ vous donne une distribution en t - preuve$\sqrt{\chi^2(s)/s}$) vous obtenez que:

Où .$s\sqrt{(X^{T}X)^{-1}_{ii}}=SE(\widehat{\beta}_{i})$

Faites-moi savoir si cela a du sens.

La réponse est en fait très simple: vous utilisez la distribution en T car elle a été conçue spécialement à cet effet.

$x_1,x_2,\dots,x_n$$\bar x=\sum_{i=1}^n x_i/n$$\bar x$

$\sigma$$\xi=(\bar x-\mu)\sqrt n/\sigma$$\mathcal N(0,1)$$\sigma$$\hat\sigma$$\sigma$$\hat\sigma$

$\hat\sigma_\beta$$\hat\beta$$\sigma$