La moyenne des matrices positives-définies est-elle également positive-définie?

La moyenne de plusieurs matrices positives-définies est-elle nécessairement positive-définie ou semi-définie positive? La moyenne est la moyenne par élément.

Oui, ça l'est. jth asnwer est correct (+1) mais je pense que vous pouvez obtenir une explication beaucoup plus simple avec seulement l'algèbre linéaire de base.

Supposons que et sont des matrices définies positives pour la taille . Par définition, cela signifie que pour tout , et . Cela signifie que ou de manière équivalente à . c'est à dire. doit être défini positif.$A$$B$$n$$u \in R^n$$0 < u^TAu$$0 < u^TBu$$0 < u^TAu + u^TBu$$0 < u^T(A+B)u$$(A+B)$

Bien sûr. L'ensemble des matrices définies positives forme un cône , ce qui signifie qu'il est fermé sous des combinaisons linéaires positives et une mise à l'échelle.