Simplifiez la somme des combinaisons avec le même n, toutes les valeurs possibles de k

Existe-t-il un moyen de simplifier cette équation?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Ou plus généralement,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics Idr
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Un magasin de glaces fabrique des glaces non aromatisées puis ajoute un ou plusieurs des 5 concentrés d'arômes (vanille, chocolat, fudge, menthe, jamoca) pour créer les différentes glaces disponibles à la vente dans le magasin. Le nombre de saveurs différentes est donc . Essayez de calculer le nombre de saveurs à la main. Pour un crédit supplémentaire, identifiez le magasin.

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$

Dilip Sarwate

Réponses:

Voir

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

qui dit

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Vous pouvez le prouver en utilisant le théorème binomial où . $x=y=1$

Maintenant, puisque pour tout , il s'ensuit que $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

Dans votre cas , la réponse est donc . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

Macro
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Merci. J'essayais de comprendre tous les ensembles possibles de fonctionnalités d'entrée pour une régression, donc mon esprit commence par les statistiques, mais je suppose que cette question n'est pas des statistiques en soi.

Idr

Aucun problème. Veuillez envisager de voter et / ou d'accepter les réponses que vous avez trouvées utiles :)

Macro

Bien sûr. Je crois aussi que vos i devraient être des k.

Idr

vous avez raison - fixe.

Macro

Un moyen simple de le voir est: vous prendrez chaque élément (1) ou non (0). Vous pouvez donc représenter tous les nombres binaires avec n bits: 2 ^ n. Et cela revient à toutes les combinaisons avec un élément supprimé, plus toutes les combinaisons avec 2 éléments supprimés, et ainsi de suite .. = somme de C (k / N).

Snicolas

Devoirs?

Allusion:

Rappelez-vous le théorème binomial:

(X + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) X^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Maintenant, si vous pouviez trouver x et y pour que soit constant ... $x^ky^{n-k}$

Erik
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