La moyenne géométrique est un estimateur non biaisé de la moyenne de quelle distribution continue?

Existe-t-il une distribution continue exprimable sous forme fermée, dont la moyenne est telle que la moyenne géométrique des échantillons est un estimateur non biaisé de cette moyenne?

Mise à jour: Je viens de réaliser que mes échantillons doivent être positifs (ou bien la moyenne géométrique peut ne pas exister) donc peut-être que continu n'est pas le bon mot. Que diriez-vous d'une distribution qui est nulle pour les valeurs négatives de la variable aléatoire et qui est continue pour les valeurs positives. Quelque chose comme une distribution tronquée.

distributions geometric-mean user53608
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Une distribution peut être continue tout en ayant un espace d'échantillonnage strictement positif (par exemple la distribution gamma).

gammer

Voulez-vous également dire un exemple où la moyenne géométrique d'un échantillon est un estimateur non biaisé du premier moment? Je n'ai vu que la moyenne géométrique d'un ensemble discret de données définies et on ne sait pas comment la moyenne géométrique "vraie" (c'est-à-dire au niveau de la population) serait définie pour une distribution continue ... Peut-être

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$ ?

gammer

Cela fonctionne pour la distribution lognormale.

Michael R. Chernick

X

$X$

c

$c$

Réponses:

$X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

En raison de l'hypothèse iid , nous avons

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

et nous demandons donc si nous pouvons avoir

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Mais par l'inégalité de Jensen, et le fait que la fonction de puissance est strictement convexe pour des puissances supérieures à l'unité, nous avons cela, presque sûrement pour une variable aléatoire non dégénérée (non constante),

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Il n'y a donc pas de telle distribution.

$GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

$\mu$ $\sigma$

$s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(ce qui nous indique qu'il s'agit d'un estimateur biaisé de la médiane). Mais

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

qui est la médiane de la distribution. On peut également montrer que la variance de la moyenne géométrique de l'échantillon converge vers zéro, et ces deux conditions sont suffisantes pour que cet estimateur soit asymptotiquement cohérent - pour la médiane,

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

Alecos Papadopoulos
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Peut-être faut-il ajouter que l'inégalité de Jensen, appliquée avec une fonction strictement convexe, n'est une égalité que si est aussi constant.

X

$X$

Olivier

@Olivier: Je pense que c'est une propriété suffisamment connue pour ajouter de l'encombrement à l'inclure. Dans tous les cas , l'inégalité de Jensen n'est même pas vraiment nécessaire car considérer le cas est déjà suffisamment couplé avec le fait implique presque sûrement par un argument encore plus élémentaire.

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

Cardinal

C'est un argument similaire à l'excellente réponse d'Alecos, car la moyenne arithmétique, l'inégalité moyenne géométrique est une conséquence de l'inégalité de Jensen.

Soit la moyenne arithmétique: $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
Soit la moyenne géométrique: $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

La moyenne arithmétique, l'inégalité moyenne géométrique indique que avec égalité si et seulement si chaque observation est égale: . (L'inégalité AMGM est une conséquence de l'inégalité de Jensen .) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Cas 1: presque sûrement $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Alors . $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

Dans un certain sens, il s'agit d'un cas entièrement dégénéré.

Cas 2: pour $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

Ensuite, il y a une probabilité positive que la moyenne géométrique soit plus petite que la moyenne arithmétique. Puisque pour tous les résultats et , nous avons alors . $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

Matthew Gunn
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La moyenne géométrique est un estimateur non biaisé de la moyenne de quelle distribution continue?

Réponses:

Cas 1: presque sûrementX1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

Cas 2: pourP(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

Cas 1: presque sûrement $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Cas 2: pour $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$