Si

Je suis tombé sur une preuve pour l'une des propriétés du modèle ARCH qui dit que si $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ , alors $\{X_t\}$ est stationnaire ssi $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ où le modèle ARCH est:

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

L'idée principale de la démonstration est de montrer que $X_t^2$ peut être écrit comme un processus AR (p) et si $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ est vrai, alors toutes les racines du polynôme caractéristique se trouvent en dehors du cercle unitaire et donc $\{X_t^2\}$ est stationnaire. Il dit alors que $\{X_t\}$ est donc stationnaire. Comment cela se passe-t-il?

De la section donnée, je comprends comment vous pourriez voir que la stationnarité de implique la stationnarité de X t, mais en réalité cela n'implique qu'une variance constante de X$X^2_t$$X_t$ $X_t$ .

Les auteurs de cette preuve utilisaient la stationnarité de pour compléter un argument qu'ils avaient commencé plus tôt en examinant des moments inconditionnels de$X^2_t$$X_t$

Rappelez-vous le $2^{nd}$ conditions afin de stationnarité:

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ h ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

La condition 1 a été prouvée par $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

La condition 3 a été prouvée par $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

But to prove the second condition they needed to prove a constant unconditional variance of $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

This is what leads to an assumption of stationarity of $X^2_{t}$ which you have mentioned uses its $AR(p)$ form. In brief:

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write: $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$