Pourquoi la somme des échantillons d'autocorrélations d'une série stationnaire est-elle égale à -1/2?

Je ne peux pas saisir ma tête autour de cette propriété des séries stationnaires et de la fonction d'autocorrélation. Je dois prouver que

\begin{aligned} \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = - \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{h=1}^{n-1}\hat\rho(h)=-\frac{1}{2} \end{align}$

Où et est la fonction d'autocovariance $\hat\rho(h)=\displaystyle\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}$ $\hat\gamma(h)$

\begin{aligned} \hat{γ} (h) = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat\gamma(h) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X}) \end{align}$

J'espère que quelqu'un pourra m'aider avec une preuve, ou du moins me diriger dans la bonne direction.

time-series autocorrelation stationarity Ernesto
la source

Astuce: en soustrayant une constante de tous les

X_{t}

$X_t$ , qui ne changera aucun des

\hat{γ} (h)

$\hat\gamma(h)$ , vous pouvez supposer

0 = \sum_{t = 1}^{n} X_{t}

$0=\sum_{t=1}^nX_t$ . Carrez cela et recherchez des pièces qui correspondent à vos deux sommes.

whuber

Merci pour la réponse. Je comprends que la soustraction d'une constante n'affecte aucun des , mais je ne vois pas pourquoi cela me permet de supposer que la somme de la série est égale à 0.

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

Ernesto

Soustrayez exactement la constante qui rend égal à 0. Maintenant, votre

\sum X_{t}

$\sum X_t$

\hat{γ}

$\hat\gamma$ est simplifié (car le nouveau

X_{t}

$X_t$ 's ont une moyenne de 0) et les termes sont beaucoup plus faciles à jouer (mais sans perte de généralité).

Glen_b -Reinstate Monica

Il semble que cela devrait être

1 / (n - h)

$1/(n-h)$ plutôt que

1 / n

$1/n$

Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Je crois que les deux versions sont des estimateurs valides de la fonction d'autocovariance avec les mêmes propriétés asymptotiques mais j'ai lu quelque part que

1 / n

$1/n$ est préféré. (La raison en est que la matrice

\hat{γ} (i - j)

$\hat{\gamma}(i-j)$ est positif semi-défini, je ne suis pas mathématicien donc je ne peux pas vraiment expliquer cette raison!)

Ernesto

Réponses:

Commençons par représenter la somme $S$ en utilisant la définition de la fonction d'autocorrélation:

S = \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = \sum_{h = 1}^{n - 1} (\frac{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}})

$\begin{equation} S = \sum_{h=1}^{n-1} \hat{\rho}(h) = \sum_{h=1}^{n-1} \left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(X_t-\bar{X})^2}\right) \end{equation}$

Le dénominateur ne dépend pas $h$ afin que nous puissions simplifier et déplacer l'avant $\sum$ au numérateur, ce qui nous donne:

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}}

$\begin{equation} S = \frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h} (X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t-\bar{X})^2} \end{equation}$

Considérons maintenant le dénominateur. Comment représentons-nous pour obtenir une expression similaire au numérateur? Ensemble $Y_t=X_t-\bar{X}$ . alors $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0.$ Le dénominateur ici est $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2}$ . Nous savons que $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ , c'est-à-dire en soustrayant toutes les paires uniques $\times$ 2. Parce que $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0$ , il s'ensuit que $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ .

En se rebranchant en termes de X, le dénominateur devient $- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})$ . Alors,

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{- 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})} = - \frac{1}{2}

$\begin{equation} S=\frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}= -\frac{1}{2} \end{equation}$

J'espère que cela t'aides!

Dilly Minch
la source

Merci beaucoup, je vais accepter cette réponse dans un instant, je n'ai qu'une dernière question. Tout est clair pour moi sauf cette partie:

\sum_{t = 1}^{n} Y_{t}^{2} = {(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})}^{2} - 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} Y_{t} Y_{t + h}

$\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ . Je ne comprends pas comment nous pouvons inclure la double sommation ici, je suppose que c'est une propriété ou une identité de la sommation?

Ernesto

Pour voir cela, essayez de développer

(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})^{2}

$(\sum_{t=1}^n Y_t)^2$ . Vous obtenez la somme de

Y_{t}^{2}

$Y_t^2$ , les autres termes sont de type

Y_{i} Y_{j}

$Y_iY_j$ pour

i \neq j

$i\neq j$ , dont chacun se produit deux fois dans l'expansion en raison de la symétrie. Maintenant, la double sommation vient de l'énumération de ces paires de la manière suivante: Pour

Y_{1}

$Y_1$ , Nous comptons

Y_{2}, Y_{3}

$Y_2, Y_3$ , etc. Pour

Y_{2}

$Y_2$ , Nous comptons

Y_{3}, Y_{4}

$Y_3,Y_4$ etc., jusqu'à ce que nous atteignions

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$ pour la paire finale

Y_{n - 1} Y_{n}

$Y_{n-1}Y_n$ .

Dilly Minch