L'utilisation de l'écart-type repose-t-elle sur l'hypothèse d'une distribution normale?

Je me demande si l'écart-type a toujours été construit sur l'hypothèse d'une distribution normale. En d'autres termes, si l'échantillon n'est pas distribué normalement, l'utilisation de l'écart-type doit-elle être considérée comme une erreur?

Non. L'utilisation de l'écart-type ne suppose pas la normalité.

La variance d'une variable aléatoire est définie comme . Tant que la variance existe, l'écart type existe également. L'écart type est la racine carrée de la variance.$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

Vous pouvez utiliser la variance ou l'écart-type chaque fois que les deux existent. L'écart apparaît dans d'innombrables situations.$\operatorname{Var}(X)$

Il y a des théorèmes spéciaux, des lemmes etc ... mais pour le cas spécial où suit la distribution normale.$X$

Une utilisation courante de l'écart-type qui dépend de la normalité:

Si suit la distribution normale, il y a alors une probabilité d'environ 95% que X tombe dans les deux écarts-types de la moyenne.$X$$X$

Cette affirmation est vraie si suit la distribution normale (et plusieurs autres) mais ce n'est pas vrai en général.$X$

Une utilisation courante de la variance qui ne dépend pas de la normalité:

Soit une variable aléatoire avec une moyenne E [ X ] = μ et une variance Var ( X ) = σ 2 . Définir X i pour i = 1 , ... , n comme des variables aléatoires indépendantes, chacune après la distribution identique à X .$X$$\operatorname{E}[X] = \mu$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$X_i$$i=1, \ldots, n$$X$

Définissez la moyenne de l'échantillon sur la base de observations: ˉ X n = $n$

D'après le théorème de la limite centrale, converge vers une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne μ et de variance σ $\bar{X}_n$$\mu$ . (Plus précisément$\frac{\sigma^2}{n}$ converge en distribution versN(0,σ2)commen→∞.)$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$n \rightarrow \infty$

L'implication pratique est que la moyenne de l'échantillon pour les grands n peut être traitée comme une variable aléatoire normalement distribuée dont la variance σ $\bar{X}_n$$n$ est une fonction de la variance deX. (RappelVar(X)=σ2.) Et ce résultat ne nécessite pas queXsoit normal. (Il faut cependant unninférieurpour bien fonctionner siXest plus proche dans un certain sens de la distribution normale.)$\frac{\sigma^2}{n}$$X$$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$$X$$n$$X$

Le théorème de la limite centrale est un outil omniprésent qui utilise la variance de et n'a pas besoin de X pour suivre la distribution normale.$X$$X$

$S^2$$\hat{\sigma}^2_{ML}$$\mathrm{Var}[X_i]$