Quelle estimation de variance utiliser pour un test de Wald?

J'ai vu la justification suivante pour le test de Wald de l'hypothèse nulle pour un paramètre scalaire . Lorsque est le MLE pour estimé à partir d'un échantillon indépendant de taille , sous l'hypothèse nulle nous avons dans la distribution , où est l'information attendue pour une seule observation, évaluée à . Il me semble donc que nous devrions utiliser la statistique de test $H_0: \theta = \theta_0$ $\theta$ $\hat{\theta}_n$ $\theta$ $n$ $\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$ $n\rightarrow \infty$ $i(\theta_0)$ $\theta_0$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

qui sera approximativement pour les grands . Cependant, il semble plus courant d'écrire la statistique de Wald comme $N(0,1)$ $n$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

c'est-à-dire, pour évaluer les informations attendues dans plutôt que dans . Ma question est, considérant que nous avons besoin de la distribution de la statistique de test sous le nul pour effectuer notre test d'hypothèse, n'est-il pas plus logique d'essayer d'estimer l'erreur standard sous le nul, c'est-à-dire d'estimer par ? $\hat{\theta}$ $\theta_0$ $s.e.\left(\hat{\theta}\right)$ $\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$

hypothesis-testing maximum-likelihood ravstat
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Réponses:

L'une ou l'autre approche est légitime, les deux conduisant à la même distribution nulle asymptotique de la statistique.

$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$ implique que pour que le le théorème de mappage continu (CMT) donne que , à condition, comme c'est le cas dans les problèmes réguliers, que soit continu. Ensuite, toujours par le CMT, et le théorème de Slutzky donne que sous également. $\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$ $i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$ $i$

\sqrt{\frac{1}{i ({\hat{θ}}_{n})}} \to_{p} \sqrt{\frac{1}{i (θ_{0})}}

$\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta}_n)}}\to_p\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0 )}}$

\frac{\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0})}{\sqrt{\frac{1}{i (\hat{θ})}}} \to_{d} N (0, 1)

$\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1)$

H_{0}

$H_0$

Christoph Hanck
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