Quelle serait la distribution de l'équation suivante:
où et sont des variables aléatoires chi carré non centrales indépendantes avec degrés de liberté.
OBS.: Les RV générant à la fois et ont et , disons .
distributions
chi-squared
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Felipe Augusto de Figueiredo
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Réponses:
Si sont indépendants, alors aura la . Puisque est non négatif, CDF de peut être trouvé en notantPar conséquent,a,d∼χ22M X=a+d χ24M X Y=a2+2ad+d2=(a+d)2=X2
Si et sont corrélés, les choses sont beaucoup plus complexes. Voir par exemple la fonction de distribution cumulative de NH Gordon et PF Ramig de la somme des variables aléatoires du chi carré corrélé (1983) pour une définition du chi carré multivarié et la distribution de sa somme.a d
Si vous avez affaire à un chi carré non central, donc ce qui précède ne sera plus valide. Ce message peut fournir un aperçu.μ≠2M
EDIT: Sur la base des nouvelles informations, il semble et soient formés en additionnant le rv normal avec une variance non unitaire. Rappelez-vous si alors . Depuis maintenant deux auront une distribution chi carré mise à l'échelle par , c'est-à-dire la distribution . Dans ce cas, sera distribué par . Par conséquent, pour nous avonsa d Z∼N(0,1) c√Z∼N(0,c)
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Puisqu'un khi carré non central est une somme de RV indépendants, alors la somme de deux chi carrés non centraux indépendants est également un chi carré non central avec des paramètres la somme des paramètres correspondants de les deux composantes, (degrés de liberté), (paramètre de non centralité).X=a+b kx=ka+kb λx=λa+λb
Pour obtenir la fonction de distribution de son carré , on peut appliquer la "méthode CDF" (comme dans la réponse @francis),Y=X2
et où
donc
où est ici la fonction Q de Marcum .Q
Ce qui précède s'applique aux chi-carrés non centraux formés comme des sommes de normales quadratiques indépendantes chacune avec une variance unitaire mais une moyenne différente.
ADDENDA RÉPONDANT À LA MODIFICATION DE LA QUESTION
Si les RV de base sont , alors le carré de chacun est un voir https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 .N(0,c) Gamma(1/2,2c)
Donc, le rv et donc aussi (paramétrage de l'échelle de forme, et voir l'article de wikipedia pour le propriétés additives pour Gamma).a∼Gamma(M,2c) b∼Gamma(M,2c) X=a+b∼Gamma(2M,2c)
Ensuite, on peut appliquer à nouveau la méthode CDF pour trouver le CDF du carréY=X2
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