Le noyau cosinus peut-il être compris comme un cas de distribution bêta?

Comme l'ont noté Wand et Jones (1995), la plupart des grains standard peuvent être considérés comme

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

famille, où $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ est une fonction bêta. Différentes valeurs de $p$ conduisent à des noyaux rectangulaires ( $p=0$ ), Epanechnikov ( $p=1$ ), bi-poids ( $p=2$ ) et tri-poids ( $p=3$ ).

Peut cosinérer le noyau (tel que compris dans la densityfonction de R ),

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

être également considéré comme un membre de cette famille? Si oui, quelle est la valeur appropriée de $p$ pour cela? Après avoir fait quelques simulations, je suppose que $\approx 2.35$ est assez proche, mais (comment) puis-je trouver le bon sans simulation? Sinon, peut-il être approximé en utilisant la distribution bêta?

Wand, MP et Jones, MC (1995). Lissage du noyau. Chapman and Hall, Londres.

distributions kernel-smoothing beta-distribution Tim
la source

La fonction bêta avec des arguments entiers n'est qu'un certain rapport de factorielles, mais pour les arguments non entiers, je doute que cela se simplifie en quelque chose d'utile; et ce n'est certainement qu'un nombre dépendant de donc il n'y a aucun moyen d'obtenir une fonction cosinus à partir de cette expression.

p

$p$

amoeba

@amoeba encore, peut-on l'approcher? Et la deuxième question est: comment ont-ils trouvé les valeurs pour les autres noyaux?

Tim

@Tim, que voulez-vous dire par "comment ont-ils trouvé"? Juste en vous connectant?

Christoph Hanck

@amoeba, vous n'avez pas besoin du cosinus entier, seulement de la courbe entre . Comme nous le savons, c'est une somme infinie de polynômes (expansion de Taylor autour de zéro).

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

Firebug

@ChristophHanck à droite, c'était évident, je retire cette question :) D'une certaine manière, je suis parti de la réflexion en termes de distribution bêta plutôt que de me concentrer directement sur elle.

Tim

Réponses:

Le noyau cosinus n'est pas une distribution bêta.

Notez que les choses suivantes sont toutes vraies pour la densité de cosinus standard:

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
La moitié droite de cette densité est symétrique en rotation autour de : (c'est-à-dire considérant les deux autres propriétés, cela implique ) $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

Mais aucune densité bêta sur (-1,1) n'aura toutes ces propriétés ensemble.

La densité symétrique du noyau bêta peut s'écrire:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Par exemple, la première condition implique un d'environ ( ). Le second implique un de 1 ( ). $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

Cependant, les valeurs d' proche que le choix d' (3,38175) donne des densités vraiment très proche du cosinus. $a$ $a$

[C'est assez proche de votre (puisque ); une plage de valeurs dans cette région donne des densités similaires au cosinus.] $p=2.35$ $p=a-1$

La plus petite déviation absolue de densité se produit pour - pas que la minimisation des déviations absolues rendra les propriétés les plus semblables. $p\approx 2.3575$

Voici le cosinus et la bêta (avec ): $p=2.3575$

Même s'ils ne sont pas identiques, ils sont de forme assez similaire.

Glen_b -Reinstate Monica
la source

Je voulais juste dire merci. Il est intéressant d'apprendre que s'il est impossible d'obtenir une correspondance exacte, nous pouvons nous rapprocher si près par approximation.

Tim

La valeur de ne devrait pas être une surprise, car une approximation de la série Taylor de troisième ordre au cosinus suggère .

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

whuber