Étant donné que l'erreur standard d'une régression linéaire est généralement donnée pour la variable de réponse, je me demande comment obtenir des intervalles de confiance dans l'autre sens - par exemple pour une ordonnée à l'origine. Je peux visualiser ce que cela pourrait être, mais je suis sûr qu'il doit y avoir un moyen simple de le faire. Voici un exemple dans R de la façon de visualiser cela:

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

Comment calculer l'intervalle de confiance de l'ordonnée à l'origine dans une régression linéaire?

Hypothèses

• Utilisez le modèle de régression simple .$y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• Les erreurs ont une distribution normale conditionnelle aux régresseurs$\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• Ajuster en utilisant le moindre carré ordinaire

3 procédures pour calculer l'intervalle de confiance sur l'ordonnée à l'origine

• Extension Taylor (facile à utiliser)
• Méthode Marc in the box (MIB)
• CAPITANI-POLLASTRI ( https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf )

Extension Taylor de premier ordre

Votre modèle est avec un écart - type estimé et sur et paramètres et covariance estimée . Vous résolvez$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

Alors l'écart type sur est donné par:$\sigma_X$$X$

MIB

Voir le code de Marc dans l'encadré à Comment calculer l'intervalle de confiance de l'ordonnée à l'origine dans une régression linéaire? .

CAPITANI-POLLASTRI

CAPITANI-POLLASTRI fournit la fonction de distribution cumulative et la fonction de densité pour le rapport de deux variables aléatoires normales corrélées. Il peut être utilisé pour calculer l'intervalle de confiance de l'ordonnée à l'origine dans une régression linéaire. Cette procédure donne des résultats (presque) identiques à ceux de MIB.

En effet, en utilisant le moindre carré ordinaire et en supposant la normalité des erreurs, (vérifié) et sont corrélés (vérifiés).$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$

La procédure est la suivante:

• obtenir un estimateur OLS pour et .$a$$b$
• obtenir la matrice de variance-covariance et extraire, .$\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$
• Supposons que et suivent une distribution normale corrélée bivariée, . Ensuite, la fonction de densité et la fonction de distribution cumulative de sont données par CAPITANI-POLLASTRI.$a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• Utilisez la fonction de distribution cumulative de pour calculer les quantiles souhaités et définir un intervalle de co-confiance.$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

Comparaison des 3 procédures

Les procédures sont comparées à l'aide de la configuration de données suivante:

• x <- 1:10
• a <- 20
• b <- -2
• y <- a + b * x + rnorm (longueur (x), moyenne = 0, sd = 1)

10000 échantillons différents sont générés et analysés à l'aide des 3 méthodes. Le code (R) utilisé pour générer et analyser se trouve sur: https://github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynb

• MIB et CAPITANI-POLLASTRI donnent des résultats équivalents.
• L'expansion de Taylor de premier ordre diffère considérablement des deux autres méthodes.
• MIB et CAPITANI-POLLASTRI souffrent d'une sous-couverture. Le 68% (95%) ci contient la vraie valeur 63% (92%) du temps.
• L'expansion Taylor de premier ordre souffre d'une couverture excessive. Le 68% (95%) ci contient la vraie valeur 87% (99%) du temps.

Conclusions

La distribution d'ordonnée à l'origine est asymétrique. Elle justifie un intervalle de confiance asymétrique. MIB et CAPITANI-POLLASTRI donnent des résultats équivalents. CAPITANI-POLLASTRI ont une belle justification théorique et cela donne des raisons pour MIB. MIB et CAPITANI-POLLASTRI souffrent d'une sous-couverture modérée et peuvent être utilisés pour définir des intervalles de confiance.

Je recommanderais d'amorcer les résidus:

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

Ce que vous montrez dans le graphique sont les points où la limite inférieure / supérieure de la bande de confiance des prédictions traversent l'axe. Je ne pense pas que ce soient les limites de confiance de l'interception, mais c'est peut-être une approximation approximative.