Le coefficient de corrélation de l'échantillon est-il un estimateur non biaisé du coefficient de corrélation de la population?

Est-il vrai que est un estimateur sans biais pour ? Autrement dit, ρ X , Y E [ R X , Y ] = ρ X , Y$R_{X,Y}$$\rho_{X,Y}$

$$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$$

Sinon, qu'est-ce qu'un estimateur sans biais pour ? (Peut-être y a-t-il un estimateur standard sans biais qui est utilisé? De plus, est-il analogue à la variance de l'échantillon sans biais, où nous effectuons simplement l'ajustement simple de la multiplication de la variance de l'échantillon biaisé par ?)$\rho_{X,Y}$$\frac{n}{n-1}$

Le coefficient de corrélation de population est défini comme tandis que le coefficient de corrélation d'échantillon est défini comme

$$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$$ $$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$$

Ce n'est pas une question facile mais certaines expressions sont disponibles. Si vous parlez de la distribution normale en particulier, alors la réponse est NON ! Nous avons

$$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$$

$n^{-2}$

$\rho = 0$$|\rho| = 1$$\frac{1}{n}$

$\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$