Soit le moment du décès (ou le moment de l'échec si vous préférez une description moins morbide). Supposons que X est une variable aléatoire continue dont la fonction de densité f ( t ) est non nulle uniquement sur
( 0 , ∞ ) . Maintenant, notez que ce doit être le cas que f ( t )
se désintègre à 0 en tant que t → ∞ parce que si f ( t ) ne se désintègre pas comme indiqué, alors
∫ ∞ - ∞ (XXf(t)(0,∞)f(t)0t→∞f(t) ne peut pas tenir. Ainsi, votre idée quef(T)est la probabilité de décès au tempsT
(en fait, c'estf(T)Δtqui est (approximativement) la probabilité de décès dans l'intervallecourt(T,T+Δt]
de la longueurΔt) conduit à des conclusions invraisemblables et incroyables telles que∫∞−∞f(t)dt=1f(T)Tf(T)Δt(T,T+Δt]Δt
Vous êtes plus susceptible de mourir dans le mois suivant lorsque vous avez trente ans que lorsque vous avez quatre-vingt-dix-huit ans.
chaque fois que est tel que f ( 30 ) > f ( 98 ) .f(t)f(30)>f(98)
La raison pour laquelle (ou f ( T ) Δ t ) est la "mauvaise" probabilité à considérer est que la valeur de f ( T ) n'intéresse que ceux qui sont vivants à l'âge T (et encore mentalement assez alerte pour lire régulièrement stats.SE!) Ce qui doit être examiné est la probabilité qu'un T âgé de 1 an décède dans le mois suivant, c'est-à-diref(T)f(T)Δtf(T)TT
P{(X∈(T,T+Δt]∣X≥T} definition of conditional probabilitybecause X is a continuous rv=P{(X∈(T,T+Δt])∩(X≥T)}P{X≥T}=P{X∈(T,T+Δt]}P{X≥T}=f(T)Δt1−F(T)
En choisissant comme étant une quinzaine, une semaine, un jour, une heure, une minute, etc., nous arrivons à la conclusion que le taux de risque (instantané) pour un T âgé deΔtT
h(T)=f(T)1−F(T)
en ce sens que la probabilité approximative de décès dans la femtoseconde suivante
d'un T- year old est f ( T ) Δ t(Δt)Tf(T)Δt1−F(T).
Note that in contrast to the density f(t) integrating to 1, the
integral
∫∞0h(t)dt must diverge. This is because the CDF F(t) is related to the hazard rate through
F(t)=1−exp(−∫t0h(τ)dτ)
and since
limt→∞F(t)=1, it must be that
limt→∞∫t0h(τ)dτ=∞,
or stated more formally, the integral of the hazard rate
must diverge: there is no
potential divergence as a previous edit claimed.
Typical hazard rates are increasing functions of time, but
constant hazard rates (exponential lifetimes) are possible. Both of these kinds of hazard rates obviously have divergent integrals. A less common scenario (for those who believe that things improve with age, like fine wine does) is a hazard rate that decreases with time but slowly enough that
the integral diverges.
Imagine that you are interested in the incidence of (first) marriage for men. To look at the incidence of marriage at age 20, say, you would select a sample of people who are not married at that age and see if they get married within the next year (before they turn 21).
The you could get a rough estimate for
So basically this is just using the definition of conditional probability,
The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at aget , for a non-married individual.
We can write this as
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Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far.1−F(t) it the probability of having survived until t , so dividing the probabilty density by that probability, will get us the expected number of times we will die within the next unit of time conditional on not having died before. That is the hazard rate.
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