Si une matrice de covariance inverse est clairsemée, que puis-je dire à propos de la matrice de covariance?

Comment la condition de rareté sur une matrice de covariance inverse affecte-t-elle la matrice de covariance réelle?

Comme l'a déjà commenté Yair, il n'y a pas de condition spécifique de rareté de la matrice de covariance inverse qui affecte la matrice de covariance réelle ou vice versa. Tout ce qui n'est pas un motif de matrice banale (c'est-à-dire diagonal) n'a aucune garantie qu'il se reflétera à la fois sur une matrice particulière et sur son inverse. Même les matrices tridiagonales peuvent facilement avoir des inverses non clairsemés.

Pour des cas particuliers où la rareté de la matrice se produit dans des blocs, vous pourriez être en mesure de dériver des résultats issus de l' algorithme pseudoinverse de la matrice de bloc qui stipule que:

$\left[\begin{array}{cc} A & B \\C & D \end{array}\right]^{-1} =\begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

mais c'est probablement à ce sujet (purement anecdotique, j'ai essayé d'imposer des modèles de rareté par la décomposition Cholesky d'une matrice PSD mais j'ai échoué dans mon incursion d'essais et d'erreurs). Vous pouvez également envisager d'étudier l' algorithme de Cuthill – McKee (CM) si vous vous attendez à ce qu'une fonction d'adjacence soit reflétée dans la matrice de covariance. L'algorithme CM permute une matrice clairsemée qui a un motif de densité symétrique en une forme de matrice de bande avec une petite bande passante, cela pourrait aider à préserver une certaine rareté vers les entrées hors diagonale de la matrice inverse, mais ce n'est pas garanti. (L'application de CM -si raisonnable- peut être très utile pour des applications particulières (par exemple dans les routines de lissage 2D) et peut accélérer considérablement vos calculs.)