Que signifie intégrer sur une mesure aléatoire?

Je regarde actuellement un article sur le modèle d'effets aléatoires du processus de Dirichlet et la spécification du modèle est la suivante: où est le paramètre d'échelle et est la mesure de base. Plus loin dans l'article, cela suggère que nous intégrons une fonction sur la mesure de base telle que La mesure de base dans le processus Dirichlet est-elle un cdf ou est-ce un pdf? Que se passe-t-il si la mesure de base est gaussienne?

\begin{aligned} y_{je} & = X_{je} β + ψ_{je} + ϵ_{je} \\ ψ_{je} & \sim g \\ g & \sim ré P (α, g_{0}) \end{aligned}

$\begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*}$

α

$\alpha$

G_{0}

$G_{0}$

G_{0}

$G_{0}$

\int F (y_{j} | θ, ψ_{j}) ré g_{0} (ψ_{j}) .

$\int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).$

bayesian dirichlet-distribution dirichlet-process nonparametric-bayes measure-theory Daeyoung Lim
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Réponses:

Notons un espace mesurable de mesures de probabilité, contenant les réalisations du processus de Dirichlet. La mesure de probabilité aléatoire est une fonction mesurable et l'intégrale par rapport à est la variable aléatoire Ainsi est lui-même un pdf aléatoire (si est un pdf). $\mathcal{M}$ $G$

g : ω \mapsto g_{ω} \in M

$G : \omega \mapsto G_\omega \in \mathcal{M}$

G

$G$

\int F (\cdot | ψ) ré g (ψ) : ω \mapsto \int F (\cdot | ψ) ré g_{ω} (ψ) .

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi) : \omega \mapsto \int f(\,\cdot\,|\,\psi) dG_\omega(\psi).$

\int f (\cdot | ψ) d G (ψ)

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi)$

f (\cdot | ψ)

$f(\cdot| \psi)$

L'idée est que suit une distribution inconnue . Dans certains cas, vous pouvez avoir des raisons de croire que est normalement distribué, puis mettre un a priori sur la moyenne et la variance. Dans d'autres cas, vous ne voulez pas faire de telles hypothèses paramétriques. Dans votre modèle, par exemple, le prior sur est un processus de Dirichlet. $\psi_i$ $G$ $\psi_i$ $G$

La mesure de base dans le processus Dirichlet est-elle un cdf ou est-ce un pdf?

La mesure de base est toute mesure de probabilité, généralement prise pour avoir un support complet. Dans certains cas, il peut être représenté par une fonction de densité de probabilité. Ce n'est pas très important.

Olivier
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