Étant donné une probabilité gaussienne pour un échantillon comme avec étant l'espace des paramètres et , paramétrisations arbitraires du vecteur moyen et de la matrice de covariance.
Est-il possible de spécifier une densité antérieure et un paramétrage du vecteur moyen et de la matrice de covariance tels que la vraisemblance marginale est une vraisemblance gaussienne?
J'imagine qu'en excluant la solution triviale que la covariance est connue, c'est-à-dire , où est une matrice de covariance fixe arbitraire, ce n'est pas possible.
Pour le cas particulier et , c'est-à-dire que est unidimensionnel, et , où dénote la densité uniforme que je peux lui montrer:
La réponse acceptée contient une preuve formelle ou informelle ou des indications.
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Supposons que et sont a priori indépendants et que a une marge normale avec une moyenne et une variance . Je prouverai alors que la variance doit être constante, et que la moyenne doit avoir un a priori normal (éventuellement dégénéré).μ Σ y μ0 Σ0 Σ μ
Je vais m'en tenir au cas unidimensionnel pour plus de simplicité, en utilisant la fonction caractéristique (cf) de , c'est-à-dire . Nous savons que } et une formule similaire s'applique à la distribution de conditionnelle à et , ce qui est normal par hypothèse. Donc pour tout vrai et en réorganisant l'intégrale, nous devons avoiry ϕy(t):=E[eyit] ϕy(t)=exp{μ0it−Σ0t2/2 y μ Σ t
La première intégrale à droite, disons , est le cf de . Notez que puisque se trouve être réel, nous voyons que la distribution de est symétrique par rapport à , et donc que , comme cela aurait pu être prévu.ϕ1(t) μ ϕ1(t)e−μ0it μ μ0 E[μ]=μ0
Maintenant, il s'avère que la deuxième intégrale à droite, disons , est aussi un cf Pour voir cela, nous devons vérifier que , que est continu à et aussi que la fonction est définie positive (pd). La première exigence est évidente, la seconde est prouvée par la convergence dominée. Passons maintenant à l'exigence de pd: si la distribution précédente écrite comme est une masse de Dirac, alors est pd car est alors le cf d'une distribution normale. Si l'a priori est un mélange discret de masses de Dirac, cela est également vrai puisqueϕ2(t) ϕ2(0)=1 ϕ2 t=0 ϕ2 p(Σ)dΣ ϕ2 ϕ2 ϕ2 est alors le cf d'un mélange de normales. Par un argument de continuité, nous voyons que est pdϕ2
maintenant le puissant théorème de Lévy-Cramér qui dit que les deux fonctions pour , doivent prendre la forme avec real et . Donc doit être normal (éventuellement dégénéré) avec une moyenne . Par algèbre simple on a alors qui vaut pour tout réel . Puisque tout réel non négatif s'écrit comme , nous voyons que la transformée de Laplace du prieur deϕj j=1 2 exp{ajit−bjt2/2} aj bj≥0 μ a1=μ0
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J'ai une proposition de preuve pour vous, mais vous devez la vérifier.
Supposons que la vraisemblance marginale soit gaussienne:
alors la densité antérieure peut être définie par
où vérifie et pour . ( est ).f ∫θ∈Θf(θ)dθ=1 f(θ)≥0 θ∈Θ f(θ) p(θ|y)
Pour être une densité, l'intégrale de la densité antérieure sur doit être égale à 1. En d'autres termes,p(θ) Θ
Cela mène à
Cette égalité étant vraie si et seulement si et .μ(θ)=m Σ(θ)=Γ
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