La fonction delta de Dirac doit-elle être considérée comme une sous-classe de la distribution gaussienne?

Dans Wikidata, il est possible de lier des distributions de probabilité (comme tout le reste) dans une ontologie, par exemple, que la distribution t est une sous-classe de la distribution t non centrale, voir, par exemple,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Il existe différents cas limites, par exemple, lorsque les degrés de liberté dans la distribution t vont à l'infini ou lorsque la variance s'approche de zéro pour la distribution normale (distribution gaussienne). Dans ce dernier cas, la distribution ira vers la fonction delta de Dirac.

Je note que sur Wikipedia anglais, le paramètre de variance est actuellement déclaré comme supérieur à zéro, donc avec une interprétation stricte, on ne dirait pas que la fonction delta de Dirac est une sous-classe de la distribution normale. Cependant, cela me semble tout à fait correct, car je dirais que la distribution exponentielle est une superclasse de la fonction delta de Dirac.

Y a-t-il des problèmes à affirmer que la fonction delta de Dirac est une sous-classe de la distribution gaussienne?

Le delta de Dirac est considéré comme une distribution gaussienne quand cela est commode de le faire, et pas ainsi quand ce point de vue nous oblige à faire des exceptions.

Par exemple, jouiraient d'une distribution gaussienne multivariée si ∑ i a i X i est une variable aléatoire gaussienne pour tous les choix de nombres réels a 1 , a 2 , … , a n . (Remarque: il s'agit d'une définition standard dans les statistiques "avancées"). Puisqu'un choix est a 1 = a 2 = ⋯ $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$ , la définition standard traite la constante 0 (une variable aléatoire dégénérée) comme une variable aléatoire gaussienne (avec moyenne et variance 0 ). D'un autre côté, nous ignorons notre considération pour le delta de Dirac comme une distribution gaussienne lorsque nous envisageons quelque chose comme$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

"La fonction de distribution de probabilité cumulative (CDF) d'une variable aléatoire gaussienne à moyenne nulle avec écart-type est F X ( x ) = P { X ≤ x } = Φ ( $\sigma$ oùΦ(⋅)est le CDF d'une variable aléatoire gaussienne standard. "

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ Mais, beaucoup de gens vous diront que considérer un delta de Dirac comme une distribution gaussienne est un non-sens car leur livre dit que la variance d'une variable aléatoire gaussienne doit être un nombre positif (et certains d'entre eux voteront à la baisse cette réponse pour montrer leur mécontentement). Il y a quelques années, il y a eu une discussion très vigoureuse et éclairante sur ce point sur stats.SE mais malheureusement, ce n'était que dans les commentaires sur une réponse (par @Macro, je crois) et pas en tant que réponses individuelles, et je ne peux pas le retrouver .

Les fonctions delta s'inscrivent dans une théorie mathématique des distributions (qui est assez distincte de la théorie des distributions de probabilités , la terminologie ne pourrait pas être plus confuse ici).

Essentiellement, les distributions sont des fonctions généralisées. Ils ne peuvent pas être évalués comme une fonction, mais peuvent ensuite être intégrés. Plus précisément, une distribution est définie comme suit$D$

Soit l'ensemble des fonctions de test . Une fonction de test est une fonction vraie, honnête à Dieu, lisse, avec un support compact. Une distribution est un mappage linéaireθ D : T → $T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Une fonction honnête détermine une distribution par l'opérateur d'intégration$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

Il y a des distributions qui ne sont pas associées à de vraies fonctions, l'opérateur dirac en fait partie

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

$N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

Ceci est probablement plus communément exprimé comme

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

$\delta(x)$

Bien sûr, savoir si cela fait du dirac un membre de la famille des distributions normales est une question culturelle. Ici, je donne juste une raison pour laquelle il peut être judicieux de le considérer ainsi.

Non. Ce n'est pas une sous-classe de distribution normale.

Je pense que la confusion vient d'une des représentations de la fonction Dirac. N'oubliez pas qu'il est défini comme suit:

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

Par conséquent, il est préférable de penser à la fonction de Dirac en termes de définition intégrale et de prendre les représentations de fonctions, telles que gaussiennes, comme des outils de commodité.

MISE À JOUR Au point de @ whuber, un meilleur exemple pair est cette représentation du delta de Dirac:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

Est-ce que cela ressemble à une distribution laplacienne pour vous? Ne faut-il pas alors considérer le delta de Dirac comme une sous-classe de la distribution laplacienne?