Mis à part la famille exponentielle, d'où peuvent provenir les antérieurs conjugués?

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Est - ce que tous les prieurs conjugués doivent venir de la famille exponentielle? Sinon, quelles autres familles sont connues pour avoir / produire des prieurs conjugués?

Josh
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Réponses:

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Comme expliqué par exemple dans la section 3.3.3 du livre "Le choix bayésien" de Christian Robert, il existe en effet un lien étroit entre les familles exponentielles et les prieurs conjugués, mais il existe des prieurs conjugués disponibles pour certaines familles non exponentielles. Il appelle ces «quasi-exponentielles», car ce sont des familles pour lesquelles il existe des statistiques suffisantes de dimension finie n'augmentant pas avec la taille de l'échantillon.

Voici un exemple de distribution uniforme, dont le support dépend du paramètre de la distribution et ne peut donc pas être une famille exponentielle (comme cela est bien connu):

Ici, la distribution de Pareto est un conjugué a priori pour le paramètre de la distribution uniforme sur .b[0,b]

La densité de la distribution de Pareto avec les paramètres et est pour et sinon.c>0α>0

f(x)=αcαxα1
xcf(x)=0

L'avant du paramètre d'une distribution uniforme sur est une distribution de Pareto avec et , La probabilité pour les données , étant donné , est b[0,b]c0α0

π(b)={α0c0α0bα01if bc00else.{bα01if bc00else.
y1,,ynb
f(y|b)={i=1n1b=bnif 0yib for all i=1,,n0else.
Le produit de la vraisemblance et du précédent est le postérieur non normalisé
π(b|y)π(b)f(y|b)={α0c0α0bα01bnif bc0 and 0yib for all i=1,,n0else.{bα0n1if bc0 and 0yib for all i=1,,n0else.{bα11if bc10else.
avec
α1=α0+nc1=max(maxiyi,c0).
Par conséquent, le postérieur est distribué par Pareto.
Christoph Hanck
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(+1) Donc s'il y a une statistique suffisante de dimension constante, y a-t-il un conjugué avant?
Scortchi - Réintégrer Monica
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Question très intéressante - je ne sais pas! Ma réponse donne juste un exemple que l'appartenance à une famille exponentielle n'est pas une condition nécessaire à l'existence d'un a priori conjugué. Je serais très intéressé par la réponse, veuillez donc poser cette question séparément!
Christoph Hanck
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J'ai le sentiment qu'il doit en être ainsi pour la mise à jour au travail. Je vais certainement poser une question si je ne trouve pas de réponse de livre.
Scortchi - Réintégrer Monica
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@Scortchi: oui en effet, car s'il existe une statistique suffisante de dimension fixe alors nous sommes dans une famille exponentielle, telle qu'établie par le lemme de Pitman-Koopman-Darmois .
Xi'an
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Cela n'omet-il pas le qualificatif: "parmi toutes les familles dont le soutien ne dépend pas du paramètre", voir aussi l'exemple ci-dessus?
Christoph Hanck