J'ai deux fonctions de densité de probabilité de distributions normales:
et
Je recherche la fonction de densité de probabilité de la séparation entre et . Je pense que cela signifie que je recherche la fonction de densité de probabilité de . Est-ce exact? Comment est-ce que je trouve ça?
self-study
balise. Nous acceptons les questions sur les devoirs, mais nous les traitons un peu différemment ici.Réponses:
On ne peut répondre à cette question comme indiqué qu'en supposant que les deux variables aléatoires et X 2 régies par ces distributions sont indépendantes.X1 X2 Cela fait leur différence Normal avec la moyenne μ = μ 2 - μ 1 et la variance σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 . (La solution suivante peut facilement être généralisée à toute distribution normale bivariée de ( X 1 , X 2X=X2−X1 μ=μ2−μ1 σ2=σ21+σ22 .) Ainsi, la variable(X1,X2)
a une distribution normale standard (c'est-à-dire avec une moyenne nulle et une variance unitaire) et
L'expression
présente la différence absolue en tant que version à l'échelle de la racine carrée d'une distribution chi carré non centrale avec un degré de liberté et un paramètre de non-centralité . Une distribution chi carré non centrale avec ces paramètres a un élément de probabilitéλ=(μ/σ)2
L'écriture de pour x > 0 établit une correspondance biunivoque entre y et sa racine carrée, résultant eny=x2 x>0 y
Simplifier cela puis redimensionner par donne la densité souhaitée,σ
Ce résultat est soutenu par des simulations, comme cet histogramme de 100 000 tirages indépendants de (appelé "x" dans le code) avec les paramètres μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 . Sur celui-ci est tracé le graphique de f | X | , qui coïncide parfaitement avec les valeurs de l'histogramme.|X|=|X2−X1| μ1=−1,μ2=5,σ1=4,σ2=1 f|X|
Le
R
code de cette simulation suit.la source
I am providing an answer that is complementary to the one by @whuber in the sense of being what a non-statistician (i.e. someone who does not know much about non-central chi-square distributions with one degree of freedom etc) might write, and that a neophyte could follow relatively easily.
Borrowing the assumption of independence as well as the notation from whuber's answer,Z=X1−X2∼N(μ,σ2) where μ=μ1−μ2
and σ2=σ21+σ22 . Thus, for x≥0 ,
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The distribution of a difference of two normally distributed variates X and Y is also a normal distribution, assuming X and Y are independent (thanks Mark for the comment). Here is a derivation: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html
Here you are asking the absolute difference, based on whuber's answer and if we assume the difference in mean of X and Y is zero, it's just a half normal distribution with two times the variance (thanks Dilip for the comment).
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