Distribution de la différence entre deux distributions normales

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J'ai deux fonctions de densité de probabilité de distributions normales:

f1(x1|μ1,σ1)=1σ12πe(xμ1)22σ12

et

f2(x2|μ2,σ2)=1σ22πe(xμ2)22σ22

Je recherche la fonction de densité de probabilité de la séparation entre x1 et x2 . Je pense que cela signifie que je recherche la fonction de densité de probabilité de |x1x2|. Est-ce exact? Comment est-ce que je trouve ça?

Martijn
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S'il s'agit de devoirs, veuillez utiliser la self-studybalise. Nous acceptons les questions sur les devoirs, mais nous les traitons un peu différemment ici.
shadowtalker
De plus, je ne veux pas être "ce type" mais avez-vous essayé Google? "Différence entre les distributions normales" m'a tout de suite trouvé une réponse.
shadowtalker
@ssdecontrol non, pas de devoirs, mais c'est pour un projet de loisir, donc ça ne me dérange pas d'avoir à trouver des trucs moi-même si je suis mis sur la bonne voie. J'ai essayé Google, mais ma compréhension de la question est si limitée que je ne la reconnaîtrais probablement pas si elle était juste devant moi. avec des guillemets, j'ai trouvé beaucoup de choses similaires à "quelle est la différence entre une distribution normale et x" pour certains x.
Martijn

Réponses:

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On ne peut répondre à cette question comme indiqué qu'en supposant que les deux variables aléatoires et X 2 régies par ces distributions sont indépendantes. X1X2 Cela fait leur différence Normal avec la moyenne μ = μ 2 - μ 1 et la variance σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 . (La solution suivante peut facilement être généralisée à toute distribution normale bivariée de ( X 1 , X 2X=X2X1μ=μ2μ1σ2=σ12+σ22 .) Ainsi, la variable(X1,X2)

Z=Xμσ=X2X1(μ2μ1)σ12+σ22

a une distribution normale standard (c'est-à-dire avec une moyenne nulle et une variance unitaire) et

X=σ(Z+μσ).

L'expression

|X2X1|=|X|=X2=σ(Z+μσ)2

présente la différence absolue en tant que version à l'échelle de la racine carrée d'une distribution chi carré non centrale avec un degré de liberté et un paramètre de non-centralité . Une distribution chi carré non centrale avec ces paramètres a un élément de probabilitéλ=(μ/σ)2

f(y)dy=y2πe12(λy)cosh(λy)dyy, y>0.

L'écriture de pour x > 0 établit une correspondance biunivoque entre y et sa racine carrée, résultant eny=x2x>0y

f(y)dy=f(x2)d(x2)=x22πe12(λx2)cosh(λx2)dx2x2.

Simplifier cela puis redimensionner par donne la densité souhaitée,σ

f|X|(x)=1σ2πcosh(xμσ2)exp(x2+μ22σ2).

Ce résultat est soutenu par des simulations, comme cet histogramme de 100 000 tirages indépendants de (appelé "x" dans le code) avec les paramètres μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 . Sur celui-ci est tracé le graphique de f | X | , qui coïncide parfaitement avec les valeurs de l'histogramme.|X|=|X2X1|μ1=1,μ2=5,σ1=4,σ2=1f|X|

Figure

Le Rcode de cette simulation suit.

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)
whuber
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(f1(.)f2(.))2
1
@user77005 The answer to that is in my post: it's a non-central chi-squared distribution. Follow the link for details.
whuber
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I am providing an answer that is complementary to the one by @whuber in the sense of being what a non-statistician (i.e. someone who does not know much about non-central chi-square distributions with one degree of freedom etc) might write, and that a neophyte could follow relatively easily.

Borrowing the assumption of independence as well as the notation from whuber's answer, Z=X1X2N(μ,σ2) where μ=μ1μ2 and σ2=σ12+σ22. Thus, for x0,

F|Z|(x)P{|Z|x}=P{xZx}=P{x<Zx}since Z is a continuous random variable=FZ(x)FZ(x),
and of course, F|Z|(x)=0 for x<0. It follows upon differentiating with respect to x that
f|Z|(x)xF|Z|(x)=[fZ(x)+fZ(x)]1(0,)(x)=[exp((xμ)22σ2)σ2π+exp((x+μ)22σ2)σ2π]1(0,)(x)=exp(x2+μ22σ2)σ2π(exp(xμσ2)+exp(xμσ2))1(0,)(x)=1σ2πcosh(xμσ2)exp(x2+μ22σ2)1(0,)(x)
which is the exact same result as in whuber's answer, but arrived at more transparently.
Dilip Sarwate
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1
+1 I always like to see solutions that work from the most basic possible principles and assumptions.
whuber
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The distribution of a difference of two normally distributed variates X and Y is also a normal distribution, assuming X and Y are independent (thanks Mark for the comment). Here is a derivation: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html

Here you are asking the absolute difference, based on whuber's answer and if we assume the difference in mean of X and Y is zero, it's just a half normal distribution with two times the variance (thanks Dilip for the comment).

yuqian
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You and Wolfram Mathworld are implicitly assuming that the 2 normal distributions (random variables) are independent. The difference is not even necessarily normally distributed if the 2 normal random variables are not bivariate normal, which can happen if they are not independent..
Mark L. Stone
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In addition to the assumption pointed out by Mark, you are also ignoring the fact that the means are different. The half normal case works only when μ1=μ2 so that the difference has mean 0.
Dilip Sarwate
Thank you for your comments. Now I revised my answer based on your comments and whuber's answer.
yuqian