Problèmes d'interprétation des tests d'hypothèses

Deux choses m'ont toujours dérangé à propos des tests d'hypothèses:

1. La chance que la moyenne de la population soit exactement un nombre donné (à condition que la variable aléatoire en question soit continue) est toujours nulle, n'est-ce pas? Par conséquent, nous devons toujours rejeter l'hypothèse nulle ...
2. Si le résultat du test est de savoir s'il faut rejeter ou accepter l' hypothèse nulle , quelle différence cela fait-il ce que dit l'hypothèse alternative?

S'il vous plaît, n'importe qui peut faire la lumière?

Dans les tests d'hypothèses fréquentistes, il est inutile de parler de "la chance que la moyenne de la population soit un nombre donné" car la moyenne de la population est une valeur fixe mais inconnue. En particulier, les tests fréquentistes ne supposent pas que la moyenne de la population est une variable aléatoire et il est donc inutile de parler de .$P(\mu=0)$

L'hypothèse alternative importe dans la sélection de la région critique qui est l'ensemble des réalisations de la statistique de test qui impliquerait un rejet du nul en faveur de l'alternative. Par exemple, si vous spécifiez l'alternative comme vous utiliserez alors un test unilatéral au lieu d'un test bilatéral.$\mu >0$

Lorsque Fisher a conçu pour la première fois ce que l'on appelle maintenant le test d'hypothèse, il n'avait pas en tête une autre hypothèse. Il voulait simplement créer une statistique mesurant le degré d'accord entre l'estimation et une valeur proposée. Il a trouvé la probabilité d'obtenir une valeur pour un estimateur plus éloignée de la valeur proposée que l'estimation à partir des données. La valeur de p n'est qu'une transformation biunivoque de la statistique de test. Pas d'hypothèse alternative ici.

Ce sont Neyman et Pearson qui ont créé la formulation de l'hypothèse nulle et alternative et l'ont intégrée dans la théorie de la décision --- laquelle de ces affirmations devrais-je accepter? (J'utilise un peu "accepter" ici.) Ils voulaient trouver une procédure correcte aussi souvent que possible (reliant ainsi le concept à la notion fréquentiste d'échantillonnage répété). Ils ont choisi de minimiser les chances de ne pas rejeter un faux nul (minimiser l'erreur de type II ou maximiser la puissance) pour une chance donnée de rejeter un vrai nul (pour une probabilité donnée d'une erreur de type I). Ce cadre exigeait l'énoncé d'une hypothèse nulle pour déterminer les chances de rejeter un vrai nul (qui est la valeur p, comme Fisher l'a calculé) et l'énoncé de l'hypothèse alternative pour trouver la procédure la plus puissante pour détecter l'alternative lorsqu'elle est vraie. En règle générale, nous ne pouvons pas trouver un test qui est le plus puissant contre toutes les alternatives possibles pour un null donné; retraitée, l’alternative compte dans le choix du test.

Vous utilisez donc l'alternative lorsque vous effectuez des tests d'hypothèse: elle est intégrée au test que vous choisissez d'utiliser en premier lieu.

Vous pouvez rejeter l'hypothèse nulle mais vous ne l' acceptez jamais , vous ne la rejetez que. Autrement dit, vous pouvez conclure que les preuves (observations) ne sont pas suffisamment solides pour rejeter l'hypothèse nulle , mais vous n'embrassez pas l'hypothèse nulle et ne l' acceptez pas.

Par exemple, dans un essai clinique pour tester si un certain médicament est efficace, l'hypothèse nulle est que le médicament n'est pas efficace. Si la preuve est forte que le médicament est efficace, vous rejetez la nullité. Si les preuves sont faibles, vous dites qu'il n'y a pas suffisamment de preuves pour rejeter l'hypothèse nulle. Vous ne déclarez pas que le médicament est inefficace (acceptez la nullité), juste qu'il n'y a pas suffisamment de preuves pour dire qu'il est efficace (ne rejetez pas la nullité). Dans le cas d'un point nul tel que , vous pouvez dire avec certitude que$\mu = 0$$\mu \neq 0$si les preuves vont dans ce sens, mais en présence de preuves faibles, un statisticien avisé dirait qu'il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure que plutôt que de proclamer au monde entier que comme le prouve le test vient de se terminer. Après tout, la valeur réelle de pourrait être très légèrement différente de$\mu \neq 0$$\mu = 0$$\mu$$\mu\ldots$

Bien qu'il soit courant d'écrire toujours l'hypothèse nulle en utilisant uniquement un signe égal ( ) en vérité, l'hypothèse nulle contient toutes les valeurs non incluses dans l'hypothèse alternative, donc en fait si nous avons alors la valeur nulle que nous testons est vraiment . Même l'hypothèse nulle du test bilatéral est vraiment que la vraie valeur de la moyenne est dans un petit intervalle autour de la valeur nulle revendiquée, cet intervalle est déterminé par le niveau d'arrondi dans la mesure et l'enregistrement des données et la précision de la ordinateur.$\mu=\mu_0$$H_a: \mu > \mu_0$$H_0: \mu \le \mu_0$