Comment tester si la variance expliquée par le premier facteur d'ACP diffère selon les conditions des mesures répétées?

Le contexte:

J'ai une étude où six variables numériques sont mesurées dans chacune des deux conditions expérimentales de mesures répétées (n = 200). Appelons les conditions et et les variables et . Théoriquement, je m'attends à ce que dans la condition plus de variance dans les variables soit expliquée par le premier facteur d'une analyse en composantes principales (ACP).$A$$B$$A_1, A_2,..., A_6$$B_1, B_2,..., B_6$$B$

Les valeurs typiques seraient:

• Le premier facteur de PCA sur représente 30% de la variance$A_1, ..., A_6$
• Le premier facteur de PCA sur représente 40% de la variance.$B_1, ..., B_6$

Des questions:

• Comment puis-je tester si cette différence est statistiquement significative?
• Comment cela pourrait-il être mis en œuvre dans R?

Juste une idée (peut-être idiote). Enregistrer la variable de scores de la première composante principale pour la condition A (PC1A) et la variable de scores de la première composante principale pour la condition B (PC1B). Les scores doivent être "bruts", c'est-à-dire leurs variances ou la somme des carrés égale à leurs valeurs propres. Utilisez ensuite le test de Pitman pour comparer les variances.

Ai-je bien répondu? - Vous souhaitez tester s'il existe une différence statistiquement significative entre les deux conditions?

Perhabs vegan :: adonis () est quelque chose pour vous? Je ne sais pas si c'est ce que vous cherchez.

Il fonctionne sur la matrice de distance et compare les distances à l'intérieur d'une condition plus grandes qu'entre les conditions. Par exemple, dans un NMDS, vous verriez une séparation claire des deux conditions.

Voici un exemple de code:

df <- data.frame(cond = rep(c("A", "B"), each = 100), 
 v1 <- jitter(rep(c(20, 100), each = 100)),
 v2 <- jitter(rep(c(0, 80), each = 100)),
 v3 <- jitter(rep(c(40, 5), each = 100)),
 v4 <- jitter(rep(c(42, 47), each = 100)),
 v5 <- jitter(rep(c(78, 100), each = 100)),
 v6 <- jitter(rep(c(10, 100), each = 100)))

# PCA
require(vegan)
pca <- rda(df[ ,-1], scale = TRUE)
ssc <- scores(pca, display = "sites")
ordiplot(pca, type = "n")
points(ssc[df$cond == "A", ], col = "red", pch = 16)
points(ssc[df$cond == "B", ], col = "blue", pch = 16)

# NMDS
nmds <- metaMDS(df[ ,-1], distance = "euclidian")
nmsc <- scores(nmds, display = "sites")
ordiplot(nmds, type = "n")
points(nmsc[df$cond == "A", ], col = "red", pch = 16)
points(nmsc[df$cond == "B", ], col = "blue", pch = 16)

# use adonis to test if there is a difference between the conditions
adonis(df[ ,-1] ~ df[ ,1], method = "euclidean")
## There is a statistically significant difference between the two conditions

Test de permutation

Pour tester directement l'hypothèse nulle, utilisez un test de permutation.

Laissez le premier PC en état $A$ Explique $a<100\%$ de variance, et le premier PC en état $B$ Explique $b<100\%$de variance. Votre hypothèse est que$b>a$, afin que nous puissions définir $c=b-a$ comme la statistique d'intérêt, et l'hypothèse est que $c>0$. L'hypothèse nulle à rejeter est que$c=0$.

Pour effectuer le test de permutation, prenez votre $N=200+200$ des échantillons des deux conditions, et les diviser au hasard en conditions $A$ et $B$. Comme le fractionnement est aléatoire, il ne devrait pas y avoir de différence dans la variance expliquée après cela. Pour chaque permutation, vous pouvez calculer$c$, répétez ce processus plusieurs fois (par exemple, $10000$) fois, et obtenir la distribution des $c$ sous l'hypothèse nulle de $c_\mathrm{true}=0$. Comparer votre valeur empirique$c$ avec cette distribution donnera un $p$-valeur.

Bootstrapping

Pour obtenir l'intervalle de confiance sur $c$, utilisez le bootstrapping.

Dans l'approche d'amorçage, vous sélectionneriez au hasard $N=200$échantillons avec remplacement des échantillons existants$A$ et un autre $N=200$ de $B$. Calculer$c$et répétez-le plusieurs fois (disons, $10000$) fois. Vous allez obtenir une distribution bootstrap du$c$ valeurs, et ses intervalles de centile vont correspondre aux intervalles de confiance de la valeur empirique $c$. Vous pouvez donc estimer la$p$-value en regardant quelle partie de cette distribution se situe au-dessus $0$.

Le test de permutation est un moyen plus direct (et probablement moins reposant sur des hypothèses) de tester l'hypothèse nulle, mais le bootstrap a l'avantage supplémentaire de fournir un intervalle de confiance sur $c$.

Ce n'est qu'un aperçu de l'idée. La proportion de variance est définie comme

où $\lambda_i$sont les valeurs propres de la matrice de covariance. Maintenant, si nous utilisons à la place les valeurs propres de la matrice de corrélation,$\lambda_1+...+\lambda_6=6$, puisque la somme des valeurs propres d'une matrice est égale à la trace de la matrice, et pour les matrices de corrélation, la trace est la somme de celles.

Donc, si nous utilisons les matrices de corrélation, nous devons tester des hypothèses sur la différence de deux valeurs propres maximales d'échantillons de matrices de corrélation. Il est certainement possible de trouver dans la littérature la distribution asymptotique de la valeur propre maximale de la matrice de corrélation. Le problème se réduit donc à une sorte de test t apparié ou non apparié.