Que signifie «impartialité»?

• Que signifie dire que "la variance est un estimateur biaisé".
• Que signifie convertir une estimation biaisée en une estimation non biaisée au moyen d'une formule simple. Que fait exactement cette conversion?
• Aussi, quelle est l'utilité pratique de cette conversion? Convertissez-vous ces scores lorsque vous utilisez certains types de statistiques?

Vous pouvez tout trouver ici . Cependant, voici une brève réponse.

Soit $\mu$ et $\sigma^2$ la moyenne et la variance d'intérêt; vous souhaitez estimer $\sigma^2$ partir d'un échantillon de taille $n$ .

Maintenant, disons que vous utilisez l'estimateur suivant:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$ ,

où est l'estimateur de$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ .$\mu$

Il n'est pas trop difficile (voir note de bas de page) de voir que $E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ .

Puisque , l'estimateur S $E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$ est dit biaisé.

Mais observons que . Donc ˜ S 2=$E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$est un estimateur non biaisé deσ2.$\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$\sigma^2$

note de bas de page

Commencez par écrire puis développez le produit ...$(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Modifier pour tenir compte de vos commentaires

La valeur attendue de ne donne pas σ 2 (et donc S 2 est biaisée) mais il s'avère que vous pouvez transformer S 2 en ˜ S 2 de sorte que l'attente donne σ 2 .$S^2$$\sigma^2$$S^2$$S^2$$\tilde{S}^2$$\sigma^2$

En pratique, on préfère souvent travailler avec au lieu de S 2 . Mais, si n est assez grand, ce n'est pas un gros problème puisque $\tilde{S}^2$$S^2$$n$$\frac{n}{n-1} \approx 1$ .

Remarque Notez que l'impartialité est une propriété d'un estimateur et non d'une attente comme vous l'avez écrit.

Cette réponse clarifie la réponse d'ocram. La raison principale (et les malentendus courants) pour $E[S^2] \neq \sigma^2$ est que utilise l'estimation ˉ $S^2$$\bar{X}$ qui est elle-même estimée à partir des données.

Si vous travaillez sur la dérivation, vous verrez que la variance de cette estimation $E[(\bar{X}-\mu)^2]$$-\frac{\sigma^2}{n}$

L'explication donnée par @Ocram est excellente. Pour expliquer ce qu'il a dit avec des mots: si nous calculons en divisant juste par n , (ce qui est intuitif) notre estimation de $s^2$$n$$s^2$$n-1$

$P(2) = .25$$P(6) = .75$$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$$n = 3$$n =3$$s^2$

Parfois, tu dois te salir les mains.

En général, l'utilisation de «n» dans le dénominateur donne des valeurs plus petites que la variance de la population, ce que nous voulons estimer. Cela se produit surtout si les petits échantillons sont prélevés. Dans le langage des statistiques, nous disons que la variance de l'échantillon fournit une estimation «biaisée» de la variance de la population et doit être rendue «non biaisée».

Cette vidéo répondra correctement à chaque partie de votre question.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE