Quelle est l'erreur type de l'écart type de l'échantillon?

J'ai lu à partir de là que l'erreur standard de la variance de l'échantillon est

S E_{s^{2}} = \sqrt{\frac{2 σ^{4}}{N - 1}}

$SE_{s^2} = \sqrt{\frac{2 \sigma^4}{N-1}}$

Je serais tenté de deviner et de dire que mais je ne suis pas sûr. $SE_{s} = \sqrt{SE_{s^2}}$

sampling standard-deviation standard-error Remi.b
la source

Vous voulez dire l'erreur-type de la variance / écart-type de l' échantillon, je suppose? Si oui, une distribution particulière en tête?

Alecos Papadopoulos

Oui, c'est ce que je voulais dire. J'ai édité mon post en réaction à votre commentaire merci. Je suis surpris que vous demandiez à quelle distribution je pense. Je ne m'attendrais pas à ce que ça compte. Non, je n'ai pas de distribution particulière en tête. La forme de population dans laquelle mon échantillon est prélevé n'est probablement pas normale. Il est probablement légèrement asymétrique et a une queue très longue.

Remi.b

Asymptotiquement, cela "n'a pas d'importance". Dans les échantillons finis, c'est certainement le cas. Pour la réponse asymptotique, voir stats.stackexchange.com/a/105338/28746

Alecos Papadopoulos

Et ensuite vous demandez l'erreur standard de l'erreur standard de l'erreur standard ...

kjetil b halvorsen

@Kjetil Votre pensée est amusante. Veuillez noter, cependant, que le SE tel que défini ici n'est pas une variable aléatoire; il n'a pas d'erreur standard. On estime souvent la SE en utilisant une estimation de

et fréquemment - par un abus de langage conventionnel - appelle toujours cette SE estimée une "erreur standard". En tant que tel, il s'agit en effet d'une variable aléatoire et aura une erreur standard. Je suis sûr que vous êtes au courant de la distinction (et que vous l'aviez en tête lorsque vous avez écrit votre commentaire), mais je tiens à le souligner afin que les gens ne comprennent pas mal la question initiale à la suite de la réflexion sur votre commentaire.

σ^{4}

$\sigma^4$

whuber

Réponses:

Soit . Ensuite, la formule pour le SE de est: $\mu_4 = E(X-\mu)^4$ $s^2$

Il s'agit d'une formule exacte, valable pour toute taille et distribution d'échantillon, et est prouvée à la page 438, de Rao, 1973, en supposant que leest fini. La formule que vous avez donnée dans votre question s'applique uniquement aux données normalement distribuées.

s e (s^{2}) = \sqrt{\frac{1}{n} (μ_{4} - \frac{n - 3}{n - 1} σ^{4})}

$se(s^2) = \sqrt{ \frac{1}{n}\left(\mu_4 -\frac{n-3}{n-1} \sigma^4\right)}$

μ_{4}

$\mu_4$

Laissez . Vous voulez trouver la SE de , où $\hat{\theta} = s^2$ $g(\hat{\theta})$ . $g(u) = \sqrt{u}$

Il n'y a pas de formule exacte générale pour cette erreur standard, comme l'a souligné @Alecos Papadopoulos. Cependant, on peut générer une erreur standard approximative (grand échantillon) au moyen de la méthode delta. (Voir l'entrée Wikipedia pour la "méthode delta").

Voici comment Rao, 1973, 6.a.2.4 l'exprime. J'inclus les indicateurs de valeur absolue, qu'il a incorrectement omis.

, où est la dérivée première.

s e (g (\hat{θ})) \approx | g^{'} (\hat{θ}) | \times s e (\hat{θ})

$se(g(\hat{\theta})) \approx |g'(\hat\theta)|\times se(\hat{\theta})$

g^{'}

$g'$

Maintenant, pour la fonction de racine carrée $g$

g^{'} (u) = \frac{1}{2 u^{1 / 2}}

$g'(u) = \frac{1}{2\thinspace u^{1/2}}$

Donc:

s e (s) \approx \frac{1}{2 σ} s e (s^{2})

$se(s)\approx \frac{1}{2 \sigma} se(s^2)$

En pratique, j'estimerais l'erreur standard par le bootstrap ou le jackknife.

Référence:

CR Rao (1973) Inférence statistique linéaire et ses applications 2nd Ed, John Wiley & Sons, NY

Steve Samuels
la source

| g^{'} (\hat{θ}) |

$|g^\prime(\hat\theta)|$

Merci. Vous avez raison sur la valeur absolue. Rao l'avait omis (équation 6.a.2.4 dans les éditions de 1968 et de 1973). La preuve de la méthode delta est vraiment pour la variance, où le multiplicateur est [g '] ^ 2.

Steve Samuels

quel est le bootstrap et jackknife?

alpha_989

@ alpha_989 Les méthodes bootstrap et jackknife utilisent le rééchantillonnage afin d'estimer la précision. Ils sont utiles car vous n'avez pas besoin de faire la propagation des erreurs à la main.

Ben Jones