Comment générer des matrices orthogonales uniformément aléatoires de déterminant positif?

J'ai probablement une question stupide à propos de laquelle, je dois l'avouer, je suis confus. Imaginez la génération répétée d' une matrice orthogonale (orthonormale) aléatoire uniformément distribuée d'une certaine taille . Parfois, la matrice générée a le déterminant et parfois elle a le déterminant . (Il n'y a que deux valeurs possibles. Du point de vue de la rotation orthogonale signifie qu'il y a aussi une réflexion supplémentaire en plus de la rotation.)$p$$1$$-1$$\det=-1$

On peut changer le signe de $\det$ d'une matrice orthogonale de moins à plus de en changeant le signe d'un quelconque (ou, plus généralement, un nombre quelconque de impair) colonne de celui - ci.

Ma question est la suivante: étant donné que nous générons de telles matrices aléatoires à plusieurs reprises, introduirons- nous un certain biais dans leur nature aléatoire uniforme si chaque fois que nous choisissons de revenir au signe d'une colonne spécifique (disons, toujours la première ou toujours la dernière)? Ou devrions-nous avoir à choisir la colonne au hasard afin de garder les matrices représentent une collection aléatoire uniformément distribuée?

Peu importe le choix de la colonne: la distribution résultante sur les matrices orthogonales spéciales, $SO(n)$ , est toujours uniforme.

J'expliquerai cela en utilisant un argument qui s'étend, de manière évidente, à de nombreuses questions connexes sur la génération uniforme d'éléments de groupes. Chaque étape de cet argument est triviale, ne nécessitant rien de plus que la référence à des définitions appropriées ou un simple calcul (comme noter que la matrice est orthogonale et auto-inverse).$\mathbb{I}_1$

L'argument est une généralisation d'une situation familière. Considérons la tâche de dessin positif nombres réels selon une distribution continue spécifiée . Cela peut être fait en tirant n'importe quel nombre réel d'une distribution continue et en annulant le résultat, si nécessaire, pour garantir une valeur positive (presque sûrement). Pour que ce processus ait la distribution , doit avoir la propriété$F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

La façon la plus simple d'y parvenir est lorsque est symétrique autour de sorte que , entraînant : toute probabilité positive les densités sont simplement doublées et tous les résultats négatifs sont éliminés. La relation familière entre la distribution semi-normale ( ) et la distribution normale ( ) est de ce type.$G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

Dans ce qui suit, le groupe joue le rôle des nombres réels non nuls (considérés comme un groupe multiplicatif ) et son sous-groupe joue le rôle des nombres réels positifs . La mesure de Haar est invariante sous négation, donc quand elle est "repliée" de à , la distribution des valeurs positives ne change pas . (Cette mesure, malheureusement, ne peut pas être normalisée à une mesure de probabilité - mais c'est la seule façon dont l'analogie se décompose.)$O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

La négation d'une colonne spécifique d'une matrice orthogonale (lorsque son déterminant est négatif) est l'analogue de la négation d'un nombre réel négatif pour le replier dans le sous-groupe positif. Plus généralement, vous pouvez choisir à l'avance n'importe quelle matrice orthogonale de déterminant négatif et l'utiliser à la place de : les résultats seraient les mêmes.$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

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Bien que la question soit formulée en termes de génération de variables aléatoires, elle pose vraiment des questions sur les distributions de probabilité sur les groupes matriciels et . La connexion entre ces groupes est décrite en termes de matrice orthogonale$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

car annuler la première colonne d'une matrice orthogonale signifie multiplier à droite par . Notez que et est l'union disjointe$\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

Étant donné un espace de probabilité défini sur , le processus décrit dans la question définit une carte$(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

en définissant

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

quand et$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

pour .$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

La question concerne la génération d'éléments aléatoires dans en obtenant des éléments aléatoires : c'est-à-dire en les "poussant vers l'avant" via pour produire . Le pushforward crée un espace de probabilité avec$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

et

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

pour tout .$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

En supposant que la bonne multiplication par préserve les mesures, et notant qu'en tout état de cause , il s'ensuivrait immédiatement que pour tous les ,$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

En particulier, lorsque est invariant sous multiplication à droite dans (ce qui signifie généralement "uniforme"), le fait évident que et son inverse (qui se trouve être égal à lui-même) sont tous deux des moyens orthogonaux que ce qui précède tient, démontrant que est également uniforme. Ainsi , il est inutile de sélectionner une colonne aléatoire pour la négation.$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$