Quel est le minimum de sur toutes les distributions unimodales continues sur un intervalle borné ?

Toutes les distributions sur un intervalle borné satisfont:$[0,1]$

où est la moyenne et la variance.$\mu$$\sigma^2$

Supposons maintenant que la distribution soit unimodale, en ce sens qu'elle a au plus un maximum local. Quelle est la valeur minimale que le rapport suivant peut avoir:

Un minimum n'existe pas. Cependant, un infimum fait. Il résulte du fait que

Le supremum de la variance des distributions unimodales définies sur $[0,1]$ avoir méchant $\mu$ est $\mu(2 - 3\mu)/3$ ($0 \le \mu \le 1/2$) ou $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ ($1/2\le \mu \le 1$).

Le supremum est en fait atteint par une distribution qui - bien qu'elle n'ait pas de fonction de densité - peut encore (dans un sens généralisé) être considérée comme "unimodale"; il aura un atome$0$ (quand $\mu \lt 1/2$) ou un atome $1$ (quand $\mu \gt 1/2$) mais sinon être uniforme.

Je vais esquisser l'argument. La question nous demande d'optimiser une fonction linéaire

soumis à diverses contraintes d’égalité et d’inégalité, où $D[0,1]$ est l'ensemble des mesures (signées) sur l'intervalle $[0,1]$. Pour différenciable$F:[0,1]\to\mathbb{R}$ et $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ toute fonction continue, définir

et étendre $\mathcal{L}$ à tous $D[0,1]$ par continuité.

Les contraintes d'égalité sont

et

Les contraintes d'inégalité sont que

et il existe $\lambda \in [0,1]$ (un "mode") tel que pour tous $0\le x \le y \le \lambda$ et tout $\lambda \le y \le x \le 1$,

Ces contraintes déterminent un domaine convexe$\mathcal{X}\subset D[0,1]$ par-dessus lequel $\mathcal{L}_{x^2}$ doit être optimisé.

Comme pour tout programme linéaire dans un espace de dimension finie, les extrêmes de $\mathcal{L}_g$ sera atteint aux sommets de $\mathcal{X}$. Ce sont évidemment les mesures, absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, qui sont constantes par morceaux , parce que les sommets sont là où presque toutes les inégalités deviennent des égalités: et la plupart de ces inégalités sont associées à l'unimodalité de$F$ (comportement de queue non croissant).

Afin de satisfaire les deux contraintes d'égalité, nous devons faire une seule coupure dans le graphique de $f$, disons à un certain nombre $0\lt \lambda \lt 1$. Laisser la valeur constante sur l'intervalle$[0,\lambda)$ être $a$ et la valeur constante sur $(\lambda, 1]$ être $b$, un calcul simple basé sur les contraintes d'égalité donne

Cette figure dit tout: elle représente graphiquement la fonction de distribution localement constante de la moyenne$\mu$ avec au plus une seule pause à $\lambda$. (L'intrigue de$f_{(\lambda,\mu)}$ pour $\mu \gt 1/2$ ressemble à l'inversion de celui-ci.)

La valeur de $\mathcal{L}_{x^2}$ à de telles mesures (que je désignerai $f_{(\lambda, \mu)}$, la densité d'une distribution $F_{(\lambda, \mu)}$) est tout aussi facilement calculé

Cette expression est linéaire dans$\lambda$, ce qui implique qu'il est maximisé à $0$ (quand $\mu \lt 1/2$), $1$ (quand $\mu \gt 1/2$), ou à n'importe quelle valeur (lorsque $\mu = 1/2$). Cependant, sauf lorsque$\mu=1/2$, les valeurs limites des mesures $f_{(\lambda, \mu)}$ ne sont plus continus: la distribution correspondante $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ ou $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ a une discontinuité de saut à $0$ ou $1$ (mais pas les deux).

Cette figure représente la valeur optimale $F$ pour une moyenne de $\mu \approx 2/5$.

Quoi qu'il en soit, la valeur optimale est

Par conséquent, l'infimum de $\mu(1-\mu)/\sigma^2$ pour $0\le \mu \lt 1/2$ est

avec une expression comparable lorsque $1/2\lt \mu \le 1$ (obtenu en remplaçant $\mu$ par $1-\mu$).

Ce chiffre trace le supremum $\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ contre $\mu$.