Comment transformer une fonction en densité de probabilité tout en conservant la forme de la fonction?

J'ai une série de fonctions, chacune représentant soi-disant la densité d'une variable aléatoire parmi les agents. Chaque fonction possède également un domaine, qui décrit quelles valeurs de la variable aléatoire sont valides.

Maintenant, si je me souviens bien de mes classes de statistiques, si je prends l'intégrale d'une des fonctions parmi les valeurs décrites par le domaine de la fonction, je devrais obtenir une valeur de 1,0. Cela ne se produit cependant pas.

Existe-t-il une technique de normalisation qui peut transformer une fonction en une véritable densité de probabilité, tout en conservant la forme de la fonction?

Toutes les fonctions sont de la forme , où est la variable aléatoire, et a, b, c sont des constantes variables.$\frac{a}{bx}+c$$x$$a,b,c$

Si vous avez une fonction intégrable non négative avec le domaine telle que$f$$D$

$$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$$

Ensuite est une densité de probabilité sur . La valeur est connue comme la constante de normalisation .$f(x)/k$$D$$k$

Edit: Dans votre exemple, vous avez dit que pour les constantes connues . Dans ce cas, l'intégrale indéfinie est simple à calculer et la constante de normalisation serait$f(x) = \frac{a}{bx} + c$$a,b,c$

$$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$$

si est un intervalle alors cela se simplifie pour$D$$(A,B)$

$$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$$ Par conséquent est une densité de probabilité sur . $$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$$ $(A,B)$