Comment calculer la fonction de vraisemblance

La durée de vie de 3 composants électroniques est et . Les variables aléatoires ont été modélisées comme un échantillon aléatoire de taille 3 à partir de la distribution exponentielle avec le paramètre . La fonction de vraisemblance est, pour$X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$$X_{3} = 2.1$$\theta$$\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , où .$x = (2, 1.5, 2.1)$

Et puis le problème se poursuit pour déterminer le MLE en trouvant la valeur de qui maximise . Ma question est, comment puis-je déterminer la fonction de vraisemblance? J'ai recherché le pdf de la distribution exponentielle, mais c'est différent. Alors la fonction de vraisemblance m'est-elle toujours donnée dans un problème? Ou dois-je le déterminer moi-même? Si c'est le cas, comment?$\theta$$log f_{3}(x|\theta)$

La fonction de vraisemblance d'un échantillon est la densité conjointe des variables aléatoires impliquées mais considérée comme une fonction des paramètres inconnus étant donné un échantillon spécifique de réalisations à partir de ces variables aléatoires.

Dans votre cas, il semble que l'hypothèse ici est que la durée de vie de ces composants électroniques suit chacun (c'est-à-dire qu'elle a une distribution marginale), une distribution exponentielle avec un paramètre de débit identique , et donc le PDF marginal est:$\theta$

$$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$$

Il apparaît également que la durée de vie de chaque composant est totalement indépendante de la durée de vie des autres. Dans un tel cas, la fonction de densité conjointe est le produit des trois densités,

$$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

Pour transformer ceci en fonction de vraisemblance de l'échantillon, nous le considérons comme une fonction de étant donné un échantillon spécifique de .$\theta$$x_i$

$$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$$

où seul le côté gauche a changé, pour indiquer ce qui est considéré comme la variable de la fonction. Dans votre cas, l'échantillon disponible est les trois durées de vie observées , et donc . Alors la probabilité est$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$$\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

$$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$$

En d'autres termes, selon la probabilité qui vous a été donnée, l'échantillon spécifique disponible y a déjà été inséré. Cela n'est généralement pas fait, c'est-à-dire que nous nous «arrêtons» habituellement à la représentation théorique de la probabilité des généraux , nous dérivons ensuite les conditions de sa maximisation par rapport à , puis nous branchons aux conditions de maximisation les valeurs numériques spécifiques échantillon de valeurs , afin d'obtenir une estimation spécifique pour . $x_i$$\theta$$x$$\theta$

Certes, en regardant la probabilité comme celle-ci, on peut clarifier le fait que ce qui importe ici pour l'inférence (pour l'hypothèse de distribution spécifique), c'est la somme des réalisations, et non leurs valeurs individuelles: la probabilité ci-dessus n'est pas "échantillon -spécifique "mais plutôt" spécifique à la somme des réalisations ": si l'on nous donne un autre échantillon pour lequel la somme de ses éléments est à nouveau de , nous obtiendrons la même estimation pour (c'est essentiellement ce que cela signifie que est une statistique "suffisante" - il contient toutes les informations que l'échantillon peut fournir pour l'inférence, sous l'hypothèse de distribution spécifique).$n=3$$6.6$$\theta$$\sum x$