Test de cointégration entre deux séries chronologiques à l'aide de la méthode Engle-Granger en deux étapes

Je cherche à tester la cointégration entre deux séries chronologiques. Les deux séries ont des données hebdomadaires couvrant environ 3 ans.

J'essaie de faire la méthode en deux étapes d'Engle-Granger. Mon ordre des opérations suit.

1. Testez chaque série chronologique pour la racine unitaire via Augmented Dickey-Fuller.
2. En supposant que les deux ont des racines unitaires, trouvez une approximation linéaire de la relation via OLS. Créez ensuite une série de résidus.
3. Testez les résidus pour la racine unitaire via Dickey-Fuller augmenté.
4. Conclure la cointégration (ou non) par le résultat de 3.

Des questions:

1. Cette méthode semble-t-elle correcte? (Je suis un étudiant de premier cycle et je cherche à analyser mes données de manière légitime, pas nécessairement à les analyser selon la méthode connue la plus rigoureuse.)
2. Si une série ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle avec l'ADF (et n'a donc pas de racine unitaire) à l'étape 1, est-il raisonnable de conclure que les deux séries ne sont pas cointégrées car un ensemble de données n'est pas stationnaire? Je ne pense pas, mais je veux en être sûr.
3. Les deux ensembles de données semblent "stochastiques", donc je me demande s'il est approprié d'utiliser OLS pour mesurer la relation pour obtenir les résidus.

Considérons tout d'abord deux séries temporelles, et x 2 t qui sont toutes deux I ( 1 ) , c'est-à-dire que les deux séries contiennent une racine unitaire. Si ces deux séries cointègrent alors il existera des coefficients, μ et β 2 tels que: $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

définira un équilibre. Afin de tester la cointégration en utilisant l'approche Engle-Granger en 2 étapes, nous

$\\$ 1) Testez la série, et x 2 t pour les racines unitaires. Si les deux sontI ( 1 ), passez à l'étape 2).$x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Exécutez l'équation de régression définie ci-dessus et enregistrez les résidus. Je définir un nouveau terme « correction d'erreur .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Testez les résidus ( ) pour une racine unitaire. Notez que ce test est identique à un test de non-cointégration car sous l'hypothèse nulle les résidus ne sont pas stationnaires. Si toutefois il y a cointégration, les résidus doivent être stationnaires. N'oubliez pas que la distribution du test ADF basé sur les résidus n'est pas la même que les distributions DF habituelles et dépendra de la quantité de paramètres estimés dans la régression statique ci-dessus, car des variables supplémentaires dans la régression statique déplaceront les distributions DF vers le la gauche. Les valeurs critiques de 5% pour un paramètre estimé dans la régression statique avec une constante et une tendance sont respectivement de -3,34 et -3,78. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Si vous rejetez la valeur nulle d'une racine unitaire dans les résidus (valeur nulle de non-cointégration), vous ne pouvez pas rejeter la cointégration des deux variables. $\\$

5) Si vous souhaitez configurer un modèle de correction d'erreur et étudier la relation à long terme entre les deux séries, je vous recommanderais plutôt de configurer un modèle ADL ou ECM à la place, car il existe un petit biais d'échantillon attaché à l'Engle- Régression statique de Granger et nous ne pouvons rien dire sur la signification des paramètres estimés dans la régression statique car la distribution dépend de paramètres inconnus. Pour répondre à vos questions: 1) Comme vu ci-dessus, votre méthode est correcte. Je voulais juste souligner que les valeurs critiques des tests basés sur les résidus ne sont pas les mêmes que les valeurs critiques habituelles des tests ADF. $\\$

$\\$

(2) Si l'une des séries est stationnaire, c'est-à-dire et l'autre est I ( 1 ), elles ne peuvent pas être cointégrées car la cointégration implique qu'elles partagent des tendances stochastiques communes et qu'une relation linéaire entre elles est stationnaire depuis le stochastique. les tendances s'annuleront et produiront ainsi une relation stationnaire. Pour voir cela, considérons les deux équations: $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

Notez que , x 1 t ∼ I ( 1 ) , x 2 t ∼ I ( 1 ) , u t = β ′ x t ∼ I ( 0 ) , ε 1 t ∼ i . i . d $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

Nous résolvons d'abord l'équation et obtenons $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

Branchez cette solution dans l'équation pour obtenir: $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

Nous voyons que les deux séries partagent une tendance stochastique commune. On peut alors définir un vecteur de cointégration $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$ such that: $\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

We see that by defining a correct cointegrating vector the two stochastic trends cancel and the relationship between them is stationary ($u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$). If $x_{1t}$ was $I\left(0\right)$ then the stochastic trend in $x_{2t}$ would not be deleted by defining a cointegrating relationship. So yes you need both your series to be $I\left(1\right)$! $\\$

$\\$

(3) The last question. Yes OLS is valid to use on the two stochastic series since it can be shown that the OLS estimator for the static regression (Eq. $\left(1\right)$) will be super consistent (variance converges to zero at $T^{-2}$) when both series are $I\left(1\right)$ and when they cointegrate. So if you find cointegration and your series are $I\left(1\right)$ your estimates will be super consistent. If you do not find cointegration then the static regression will not be consistent. For further readings see the seminal paper by Engle and Granger, 1987, Co-Integration, Error Correction: Representation, Estimation and Testing.