Quelles sont la moyenne et la variance de la distribution gamma?

Il existe deux formes pour la distribution Gamma, chacune avec des définitions différentes pour les paramètres de forme et d'échelle. Plutôt que de demander à quoi sert le formulaire pour l' implémentation de gsl_ran_gamma , il est probablement plus facile de demander les définitions associées de la moyenne et de l'écart-type en termes de paramètres de forme et d'échelle.

Tout pointeur vers des définitions serait apprécié.

gamma-distribution Aengus
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La documentation ambiguë (ou manquante) est un drapeau rouge, car elle suggère que les implémenteurs sont trop inexpérimentés pour être conscients qu'il existe des conventions différentes et que la leur nécessite une documentation détaillée. Ainsi, en plus de déterminer quelle convention est utilisée, il serait sage de procéder à des tests approfondis de la mise en œuvre.

whuber

@whuber: la documentation fournit explicitement la forme du pdf. Dans ce cas, la forme donnée est la même que celle utilisée, par exemple, dans Wikipedia.

cardinal

@whuber: La documentation GSL est claire et sans ambiguïté; erreur utilisateur. La version HTML que j'ai reçue est ressortie suffisamment clairement pour que je ne soupçonne aucun problème.

Aengus

@cardinal Merci. Mon commentaire était formulé de manière générale mais répondait spécifiquement à Google pour obtenir des informations sur "gsl_ran_gamma". La première moitié de la page des résultats ne représentait que le type de documentation le plus vague (et la seconde moitié de la page contenait des groupes de rapports de bogues, même s'ils étaient anciens). Peut-être pourriez-vous fournir un lien vers le pdf pour l'enregistrement?

whuber

@whuber: J'avais placé une référence dans les commentaires à la réponse. Mais, il est actuellement caché sous le pli. La documentation de la distribution gamma se trouve à la page 230 du manuel de référence de la bibliothèque scientifique GNU actuelle .

Cardinal

Réponses:

Si le paramètre de forme est $k>0$ et l'échelle est $\theta>0$ , un paramétrage a une fonction de densité

p (x) = x^{k - 1} \frac{e^{- x / θ}}{θ^{k} Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ e^{-x/\theta} }{\theta^{k} \Gamma(k)}$

où l'argument, $x$ , n'est pas négatif. Une variable aléatoire avec cette densité a une moyenne $k \theta$ et variance $k \theta^{2}$ (ce paramétrage est celui utilisé sur la page wikipedia sur la distribution gamma).

Une paramétrisation alternative utilise $\vartheta = 1/\theta$ comme paramètre de vitesse (paramètre d'échelle inverse) et a une densité

p (x) = x^{k - 1} \frac{ϑ^{k} e^{- x ϑ}}{Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ \vartheta^{k} e^{-x \vartheta} }{\Gamma(k)}$

Dans ce choix, la moyenne est $k/\vartheta$ et la variance est $k/\vartheta^{2}$ .

Macro
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Merci pour la réponse rapide; une idée de la forme utilisée dans gsl_ran_gamma?

Aengus

Non, mais vous pouvez simplement simuler certaines valeurs données de la forme et de l'échelle et voir si la moyenne de l'échantillon est plus proche de

k θ

$k \theta$ ou

k / ϑ

$k/\vartheta$ .

Macro

@Aengus: Selon la documentation, GSL utilise le paramétrage avec moyenne

k θ

$k\theta$ . Dans la notation de la documentation, la moyenne serait

a b

$ab$ .

cardinal

@cardinal: Merci beaucoup, je n'ai pas vu ça dans la documentation. J'apprécie beaucoup la réponse, mais pouvez-vous me diriger vers un lien, etc. Ma recherche de gsl_ran_gamma était plutôt insatisfaisante. Absolument pas remettre en question la réponse, mais juste pour que je ne demande plus rien de si simple.

Aengus

@Aengus: La section 20.14 de la documentation GSL 1.14 (postscript) est ce que j'ai regardé. C'est à la page 229. Je ne sais pas si c'est la version la plus récente , car elle date de mars 2010.

Cardinal

en fait, en plus de ce que Macro a dit, il existe une troisième forme pour la distribution gamma avec un paramètre de forme $v$ et un paramètre moyen $\mu$

$p(x\mid \mu,v) = constant \times x^{\frac{v-2}{2}} e^{-\frac{xv}{2\mu}}$

si $x \sim G(\mu,v)$ puis $E(x) = \mu$ et $var(x) =\dfrac{2\mu^2}{v}$

Anas Alhashimi
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