Les systèmes d'équations linéaires sont omniprésents dans les statistiques de calcul. Un système spécial que j'ai rencontré (par exemple, dans l'analyse factorielle) est le système
où
Ici est une matrice diagonale avec une diagonale strictement positive, est une matrice semi-définie positive symétrique (avec ) positive, et est une matrice arbitraire . On nous demande de résoudre un système linéaire diagonal (facile) qui a été perturbé par une matrice de bas rang. La manière naïve de résoudre le problème ci-dessus consiste à inverser utilisant la formule de Woodbury . Cependant, cela ne semble pas correct, car les factorisations Cholesky et QR peuvent généralement accélérer considérablement la solution des systèmes linéaires (et des équations normales). Je suis récemment venu sur lel'article suivant , qui semble adopter l'approche de Cholesky, et mentionne l'instabilité numérique de l'inversion de Woodbury. Cependant, le document semble à l'état d'ébauche et je n'ai pas pu trouver d'expériences numériques ou de recherches à l'appui. Quel est l'état de l'art pour résoudre le problème que j'ai décrit?
Réponses:
"Matrix Computations" par Golub & van Loan a une discussion détaillée dans le chapitre 12.5.1 sur la mise à jour des factorisations QR et Cholesky après les mises à jour de rang p.
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