Relation entre la distribution gamma et khi carré

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Si où , c'est-à-dire que tous les sont iid des variables aléatoires normales de zéro moyenne avec les mêmes variances, puis

Y=i=1NXi2
XiN(0,σ2)Xi
YΓ(N2,2σ2).

Je sais que la distribution du chi-carré est un cas particulier de la distribution gamma, mais n'a pas pu obtenir la distribution chi-carré pour la variable aléatoire . Une aide, s'il vous plaît?Y

kaka
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Réponses:

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Quelques antécédents

La distribution est définie comme la distribution qui résulte de la sommation des carrés de n variables aléatoires indépendantes N ( 0 , 1 ) , donc: Si  X 1 , , X nN ( 0 , 1 )  et sont indépendants, alors  Y 1 = n i = 1 X 2 iχ 2 n ,X Yχn2nN(0,1)

If X1,,XnN(0,1) and are independent, then Y1=i=1nXi2χn2,
XYsignifie que les variables aléatoires et Y ont la même distribution (EDIT: χ 2 n désignera à la fois une distribution Chi au carré avec n degrés de liberté et une variable aléatoire avec une telle distribution ). Maintenant, le pdf de la distribution χ 2 n est f χ 2 ( x ; n ) = 1XYχn2nχn2 Donc, en effet ladistribution χ 2 n est un cas particulier de la distributionavec pdf Maintenant, il est clair que.
fχ2(x;n)=12n2Γ(n2)xn21ex2,for x0 (and 0 otherwise).
χn2f Γ ( x ; a , p ) = 1Γ(p,a)
fΓ(x;a,p)=1apΓ(p)xp1exa,for x0 (and 0 otherwise).
χn2Γ(n2,2)

Ton cas

La différence dans votre cas est que vous avez des variables normales avec des variances communes . Mais une distribution similaire se produit dans ce cas: donc suit la distribution résultant de la multiplication d'une variable aléatoire par . Ceci est facilement obtenu avec une transformation de variables aléatoires ( ): Notez que cela revient à dire queXiσ21

Y2=i=1nXi2=σ2i=1n(Xiσ)2σ2χn2,
Yχn2σ2Y2=σ2Y1
fσ2χ2(x;n)=fχ2(xσ2;n)1σ2.
Y2Γ(n2,2σ2)car peut être absorbée par le Gamma paramètre.σ2a

Remarque

Si vous souhaitez dériver le pdf du partir de zéro (qui s'applique également à la situation avec sous des modifications mineures), vous pouvez suivre la première étape ici pour le utilisant la transformation standard pour les variables aléatoires. Ensuite, vous pouvez soit suivre les étapes suivantes, soit raccourcir la preuve reposant sur les propriétés de convolution de la distribution Gamma et sa relation avec le décrit ci-dessus. σ 21 χ 2 1 χ 2 nχn2σ21χ12χn2

epsilone
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Belle description (+1). Mais je doute que vous disiez que probablement ce devrait être oùEt enfin,Y 2 = σ 2 U , U χ 2 n . f σ 2 U ( x ; n ) = f χ 2 ( xY2σ2χn2,Y2=σ2U,Uχn2.fσ2U(x;n)=fχ2(xσ2;n)1σ2.
kaka
σ2χn2χn2σ2fχ2(x;n)χn2nσ2χn2fχn2(x;n)n
Xn2i=1NXi2.
Y2Xiσ2XiσXi
3
χn2n