Relation entre la distribution gamma et khi carré

Si où , c'est-à-dire que tous les sont iid des variables aléatoires normales de zéro moyenne avec les mêmes variances, puis

$$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$$ $X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$$X_i$ $$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$$

Je sais que la distribution du chi-carré est un cas particulier de la distribution gamma, mais n'a pas pu obtenir la distribution chi-carré pour la variable aléatoire . Une aide, s'il vous plaît?$Y$

Quelques antécédents

La distribution est définie comme la distribution qui résulte de la sommation des carrés de n variables aléatoires indépendantes N ( 0 , 1 ) , donc: Si  X 1 , … , X n ∼ N ( 0 , 1 )  et sont indépendants, alors  Y 1 = n ∑ i = 1 X 2 i ∼ χ 2 n , où X ∼ $\chi^2_n$$n$$\mathcal{N}(0,1)$

$$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$$ $X\sim Y$signifie que les variables aléatoires et Y ont la même distribution (EDIT: χ 2 n désignera à la fois une distribution Chi au carré avec n degrés de liberté et une variable aléatoire avec une telle distribution ). Maintenant, le pdf de la distribution χ 2 n est f χ 2 ( x ; n ) = $X$$Y$$\chi_n^2$$n$$\chi^2_n$ Donc, en effet ladistribution χ 2 n est un cas particulier de la distributionavec pdf Maintenant, il est clair que. $$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ $\chi^2_n$f Γ ( x ; a , p ) = $\Gamma(p,a)$ $$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ $\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Ton cas

La différence dans votre cas est que vous avez des variables normales avec des variances communes . Mais une distribution similaire se produit dans ce cas: donc suit la distribution résultant de la multiplication d'une variable aléatoire par . Ceci est facilement obtenu avec une transformation de variables aléatoires ( ): Notez que cela revient à dire que$X_i$$\sigma^2\neq1$

$$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$$ $Y$$\chi_n^2$$\sigma^2$$Y_2=\sigma^2Y_1$ $$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$$ $Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$car peut être absorbée par le Gamma paramètre.$\sigma^2$$a$

Remarque

Si vous souhaitez dériver le pdf du partir de zéro (qui s'applique également à la situation avec sous des modifications mineures), vous pouvez suivre la première étape ici pour le utilisant la transformation standard pour les variables aléatoires. Ensuite, vous pouvez soit suivre les étapes suivantes, soit raccourcir la preuve reposant sur les propriétés de convolution de la distribution Gamma et sa relation avec le décrit ci-dessus. σ 2 ≠ 1 χ 2 1 χ 2 $\chi^2_n$$\sigma^2\neq1$$\chi_1^2$$\chi^2_n$