Pourquoi les gens optimisent souvent le déterminant de

Disons que j'ai un vecteur aléatoire$Y\sim N(X\beta,\Sigma)$ et$\Sigma\neq\sigma^2 I$. Autrement dit, les éléments de$Y$ (donné $X\beta$) sont corrélés.

L'estimateur naturel de $\beta$ est $(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1}Y$, et $\text{var}(\hat{\beta})=(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}$

Dans un contexte de conception, l'expérimentateur peut jouer avec la conception, ce qui entraînera différentes $X$ et $\Sigma$ donc différent $\text{var}(\hat{\beta})$. Pour choisir une conception optimale, je vois que les gens essaient souvent de minimiser le déterminant de$(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$, quelle est l'intuition derrière cela?

Pourquoi ne pas, disons, minimiser la somme de ses éléments?

En tant que critère de conception, pour minimiser le déterminant de $(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$, ce qui revient à maximiser le déterminant de $(X'\Sigma^{-1} X)$, est connu sous le nom de plan expérimental D-optimal. Le déterminant d'une matrice de covariance est connu comme la variance généralisée, nous minimisons donc la variance généralisée. D'autres fonctionnelles de la matrice de covariance pourraient être utilisées comme critère, mais ce que vous proposez (minimiser la somme de ses éléments) n'a pas beaucoup de sens. Le critère d'optimalité D a le gros avantage pratique d'être invariant sous les transformations linéaires des variables du régresseur, ce qui est un gros avantage pratique. L'invariance signifie que l'optimalité n'est pas influencée par des éléments tels que le choix des unités de mesure (comme m ou km ). Avec des critères d'optimalité non invariants, le résultat pourrait dépendre de choses non pertinentes telles que le choix des unités de mesure.

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