Covariance d'un vecteur aléatoire après une transformation linéaire

20

Si est un vecteur aléatoire et est une matrice fixe, quelqu'un pourrait-il expliquer pourquoiZUNE

cov[UNEZ]=UNEcov[Z]UNE.
user92612
la source

Réponses:

26

Pour un vecteur aléatoire (colonne) avec un vecteur moyen , la matrice de covariance est définie comme . Ainsi, la matrice de covariance de , dont le vecteur moyen est , est donnée par m = E [ Z ] cov ( Z ) = E [ ( Z - m ) ( Z - m ) T ] A Z A m cov ( A Z )Zm=E[Z]cov(Z)=E[(Z-m)(Z-m)T]UNEZUNEm

cov(UNEZ)=E[(UNEZ-UNEm)(UNEZ-UNEm)T]=E[UNE(Z-m)(Z-m)TUNET]=UNEE[(Z-m)(Z-m)T]UNET=UNEcov(Z)UNET.
Dilip Sarwate
la source
1
J'ai corrigé ma faute de frappe. Merci d'avoir signalé mon erreur.
user92612
4

J'ajouterais à la réponse de Dilip Sarwate que le même résultat vaut également pour la transformation de la forme : c o v ( Z A T ) = A c o v ( Z ) A TZUNET

cov(ZUNET)=UNEcov(Z)UNET

En utilisant la même approche:

cov(ZUNET)=E[(ZUNET-mUNET)(ZUNET-mUNET)T]=E[(Z-m)UNETUNE(Z-m)T]=E[UNE(Z-m)(Z-m)TUNET]=UNEE[(Z-m)(Z-m)T]UNET=UNEcov(Z)UNET

UNEBTBUNET=BUNEUNETBT

UNEBTBUNET=((UNEBTBUNET)T)T=(BUNETUNEBT)T=B(BUNETUNE)T=BUNEUNETBT
Jan Kukacka
la source